Распределение бинарного отношения по бинам так, что каждый элемент находится в небольшом количестве бинов

Нам даны пары объектов (скажем, числа). Каждый объект появляется не более чем в парах. Наша цель состоит в том, чтобы распределить пары в ячейки одинакового размера так, чтобы каждый объект находился в как можно меньшем количестве разных корзин. $q$

Точнее, нас интересует функция обладающая тем свойством, что для каждого бинарного отношения с парами, имеющими не более пар на объект, существует распределение пар по бинам, так что каждый бин получает пар ( должен делить ), и ни один объект не встречается в более чем ячейках. $f$ $m$ $q$ $p$ $m/p$ $p$ $m$ $f(m,q,p)$

Этот вопрос возник в нашем исследовании параллельной оценки запросов. Можно было бы ожидать, что больше по сравнению с . «Правильный» размер менее ясен. Интересный размер для может быть, например, . Функция, которая не зависит от , но работает только для определенного диапазона , также будет полезна (но не ). $m$ $p$ $q$ $q$ $\sqrt{\frac{m}{p}}$ $q$ $q$ $q=O(1)$

На самом деле, мы за границами вида , с как можно больше ... $p^{1-\epsilon}$ $\epsilon>0$

combinatorics

— Томас С
источник

В терминологии графа: задано целое число и граф с ребрами, причем каждая вершина имеет степень не более , найти подграфов где так, что и является разбиением на частей, каждая из которых имеет размер , и каждая вершина встречается не более чем в графов . Ваша цель - минимизировать . Какова лучшая верхняя граница

p

$p$

G = (V, E)

$G=(V,E)$

m

$m$

q

$q$

p

$p$

G_{1}, G_{2}, \dots, G_{p}

$G_1, G_2, \ldots, G_p$

G_{i} = (V_{i}, E_{i})

$G_i=(V_i, E_i)$

V = ⋃_{i} V_{i}

$V=\bigcup_i V_i$

{E_{i}}_{i}

$\{E_i\}_i$

E

$E$

p

$p$

m / p

$m/p$

v \in V

$v\in V$

k

$k$

(max_{v} | {i : v \in V_{i}} | \leq k)

$(\max_v |\{i : v\in V_i\}| \le k)$

k

$k$

k

$k$ вы можете показать данные , и ?

m

$m$

p

$p$

q

$q$

— Нил Янг

Вот так. С точки зрения графиков. Ответ на вопрос: . Действительно, как написано выше, нас интересуют границы вида и у нас нет такой границы для .

p

$p$

p^{1 - ϵ}

$p^{1-\epsilon}$

ϵ > 0

$\epsilon>0$

— Томас С

Особый случай для начала: пусть будет нечетным целым числом. Можно ли разделить ребра полного графа на подмножеств размера , чтобы для каждой вершины число подмножеств, содержащих ребра, инцидентные этой вершине, было , для какого-нибудь ? Бьюсь об заклад, для любого --- беру случайных подмножеств вершин размером каждое. Тогда с высокой вероятностью каждая вершина находится примерно в подмножеств вершин, и каждая пара находится в приблизительно

n \geq 1

$n \ge 1$

(\binom{n}{2})

$n\choose 2$

K_{n}

$K_n$

n

$n$

(n - 1) / 2

$(n-1)/2$

O (n^{1 - ϵ})

$O(n^{1-\epsilon})$

ϵ > 0

$\epsilon>0$

ϵ < 1 / 2

$\epsilon<1/2$

n

$n$

n^{1 - ϵ}

$n^{1-\epsilon}$

n^{1 - ϵ}

$n^{1-\epsilon}$

(i, j)

$(i,j)$

n^{1 - 2 ϵ}

$n^{1-2\epsilon}$ из подмножеств. Теперь назначьте пары для подмножеств ...

— Нил Янг

В этом случае узлы могут быть распределены в первой множество размера (думает интервалы). Затем каждый бин получает произведение двух таких наборов (я рассматриваю полный ориентированный граф, который проще сформулировать и асимптотически не сильно отличается). Следовательно, каждая вершина находится в бинах, то есть в этом случае .

\sqrt{n}

$\sqrt{n}$

\sqrt{n}

$\sqrt{n}$

I \times J

$I\times J$

\sqrt{n}

$\sqrt{n}$

ϵ = \frac{1}{2}

$\epsilon=\frac{1}{2}$

— Томас С

Для графа звезд ( ребер, падающих на одну вершину ) вершина должна быть в каждом из подграфов, поэтому в этом случае оценка меньше невозможна. Я думаю, поэтому вы ограничиваете максимальную степень ? Может быть, вы могли бы сказать что-то более определенное об этом, так как это кажется важным предположением. Тем временем я оставил замечание (не ответ, но слишком большой, чтобы его можно было использовать в качестве комментария!) В качестве ответа ниже.

n - 1

$n-1$

r

$r$

r

$r$

p

$p$

p

$p$

q

$q$

— Нил Янг

Это не ответ. Это просто несколько тривиальное наблюдение, что WLOG позволяет ослабить требование, чтобы было ровно реберных подмножеств точно такого же размера, и вместо этого просто искать любое количество реберных подмножеств размера . Может быть, это помогает думать о проблеме. $p$ $\{E_i\}_i$ $O(\textsf{the desired size})$

Зафиксируем любой граф и целое число . Пусть $G=(V,E)$ $p\ge 1$ $s=\lceil |E|/p\rceil$

Лемма. Предположим, что есть подграфы такие, что разбивает на (любое количество) частей размера . Пусть быть максимальным количеством частей, в которых находится любая вершина. $\{G'_j=(V'_j,E'_j)\}_j$ $\{E'_j\}_j$ $E$ $O(s)$

M = max_{v \in V} | {j : v \in V_{j}^{'}} |

$M = \max_{v\in V} |\{j : v\in V'_j\}|$

Тогда есть подграфов таких что разбивает ровно на частей, каждая из которых имеет размер не более , и $p$ $\{G_i=(V_i,E_i)\}_i$ $\{E_i\}_i$ $E$ $p$ $s=\lceil |E|/p\rceil$

max_{v \in V} | {i : v \in V_{i}} | = O (M) .

$\max_{v\in V} |\{i : v\in V_i\}| = O(M).$

Доказательство. Начиная с последовательности , замените каждую часть в последовательности любой упорядоченной последовательностью ребер, содержащихся в этой части. Пусть будет результирующей последовательностью (перестановка такая, что каждая часть является некоторым «интервалом» ребер в последовательность). Теперь разбейте эту последовательность на смежных подпоследовательностей так, чтобы каждая, кроме последней, имела размер , и пусть содержит ребра в й смежной подпоследовательности. (Так $E'_1, E'_2, \ldots, E'_{p'}$ $E'_j$ $e_1, e_2, \ldots, e_m$ $E$ $E'_j$ $\{e_a, e_{a+1}, \ldots, e_b\}$ $p$ $s$ $E_i$ $i$ $E_i = \{e_{i\,s+1}, e_{i\,s+1}, \ldots, e_{(i+1)s}\}$ для .) $i<p$

По предположению, каждая часть имеет размер , а по конструкции каждая часть кроме последней части имеет размер , поэтому (из-за способа определения ) ребра в любой данной части разбиты на частей в . Это и предположение, что каждая вершина встречается в не более чем частях в , подразумевает, что каждая вершина встречается в не более чем частей в . QED $E'_j$ $O(s)$ $E_j$ $E_p$ $s$ $\{E_i\}_i$ $E'_j$ $O(1)$ $\{E_i\}_i$ $M$ $\{E'_j\}_j$ $O(M)$ $\{E_i\}_i$

— Нил Янг
источник