Сравнивая два произведения списков целых чисел?

Предположим, у меня есть два списка положительных целых чисел ограниченной мужественности, и я беру произведение всех элементов каждого списка. Какой лучший способ определить, какой продукт больше?

Конечно, я могу просто вычислить каждый продукт, но я надеюсь, что есть более эффективный подход, так как число цифр в продуктах будет линейно увеличиваться с количеством членов, так что все вычисления будут квадратичными.

Если бы я прибавлял вместо умножения, я мог бы использовать «стратегию молнии», заключающуюся в постепенном добавлении записей из первого списка и вычитании из второго, обходя необходимость вычисления (больших) общих сумм. Аналогичные методы для продуктов будут заключаться в суммировании логарифмов записей, но теперь проблема заключается в том, что для вычисления журналов требуется использование неточной арифметики. Разве есть какой-то способ доказать, что числовая ошибка не имеет значения?

time-complexity nt.number-theory

— user168715
источник

Если мы знаем максимальное целочисленное значение, которое не зависит от n (т. Е. От константы k), то мы можем составить таблицу коэффициентов всех чисел от 1 до k. Теперь я думаю, что если вы напишите все в базе [произведение факторов], она станет линейной, поскольку вы можете вычислять продукты в линейном времени с этой базой, а затем сравнивать каждую цифру (начиная с цифры высшего порядка) по очереди, пока одна из них не станет больше другой. Детали там немного сложнее, но я думаю, что это должно работать, если k является константой.

— Филлида

0

$0$

n

$n$

m

$m$

C (m, m) + C (m, 2 m) + . . . + C (m, (n - 1) m)

$C(m,m)+C(m,2m)+...+C(m,(n-1)m)$

C (x, y)

$C(x,y)$

x

$x$

y

$y$

Может быть какой-то способ расширить метод в math.stackexchange.com/a/1081989/10385

— xavierm02

O (M (n))

$O(M(n))$

O (n \log n 2^{O (\log^{*} n)})

$O(n\,\log n\,2^{O(\log^*n)})$

Я подумаю о необходимой точности для логов. Это на самом деле может быть более эффективным.

— Эмиль Йержабек

(Я понимаю описание проблемы, так что входные числа ограничены константой, поэтому я не буду отслеживать зависимость от границы.)

Задача разрешима в линейном времени и логарифмическом пространстве с использованием сумм логарифмов. Более подробно алгоритм выглядит следующим образом:

Используя двоичные счетчики, подсчитайте количество вхождений каждого возможного входного номера в обоих списках.

$O(n)$ $O(\log n)$ $n$

$p_1,\dots,p_k$ $O(1)$ $a$ $a$ $O(\log n)$

$\beta_1,\dots,\beta_k$ $O(\log n)$ $\Lambda:=\sum_{i=1}^k\beta_i\log p_i$

$\beta_1=\dots=\beta_k=0$

$\Lambda\ne0$

| Λ | > 2^{- C \log n}

$|\Lambda|>2^{-C\log n}$

C

$C$

Λ

$\Lambda$

$\sum_{i=1}^k\beta_i\pi_i$ $\pi_i$ $\log p_i$ $m:=C\log n+k+1$

$M(m)$ $m$ $M(m)=O(m\,\log m\,2^{O(\log^* m)})$ $O(m^2)$ $\log p_i$ $m$ $O(M(m)\log m)$ $\sum_i\beta_i\pi_i$ $O(M(m))$ $O(M(m)\log m)\subseteq O(\log n\,\mathrm{poly}(\log\log n))$

$O(n)$

— Эмиль Йержабек
источник

Спасибо! Я должен буду проработать детали позже, но это кажется очень многообещающим!

— user168715