Какие игры 2P1R являются потенциально острыми?

Игры с двумя пруверами в один раунд (2P1R) являются важным инструментом для определения приближенности. В частности, параллельное повторение однокруговых игр с двумя проверками дает возможность увеличить размер пропуска в версии решения задачи аппроксимации. См . Обзорный доклад Ран Раза на КХЦ 2010 для обзора предмета.

Параллельное повторение игры обладает удивительным свойством, заключающимся в том, что хотя рандомизированный верификатор работает независимо, два игрока могут играть в игры независимо, чтобы достичь большего успеха, чем независимая игра в каждую игру. Величина успеха ограничена выше теоремой параллельного повторения Raz:

Теорема : существует универсальная константа так что для каждой игры 2P1R со значением и размером ответа значение игры параллельного повторения не больше .G 1 - ε s G п ( 1 - ε с ) Ω ( п / ев $c$$G$$1-\epsilon$$s$$G^n$$(1-\epsilon^c)^{\Omega(n/s)}$

Вот схема работы по идентификации этой константы :$c$

• Оригинальная статья Raz доказывает .$c \leq 32$
• Холенштейн улучшил это до .$c \leq 3$
• Рао показал, что достаточно (и зависимость от снята) для частного случая проекционных игр.$c' \leq 2$$s$
• Раз дал стратегию для игры странного цикла, которая показала, что результат Рао является резким для проекционных игр.

По этой работе мы знаем . Мои два вопроса следующие:$2 \leq c\leq 3$

Вопрос 1: Есть ли у экспертов в этой области консенсус относительно точного значения ?$c$

Если считается, что , существуют ли конкретные игры, которые не являются проективными, но также и специфически нарушают дополнительные свойства проекционных игр, которые требуются для доказательства Рао.$c > 2$

Вопрос 2: Если , какие интересные игры нарушают стратегию Рао и могут привести к ярким примерам?$c > 2$

Из моего собственного чтения кажется, что наиболее важным свойством проекционных игр, которые использует Рао, является то, что хорошая стратегия параллельного повторения не будет использовать многие из возможных ответов на определенные вопросы. Это как-то связано с местностью проекционных игр.

Я склонен полагать, что с = 3 является правильным ответом для общего случая, и что можно привести пример. Мне придется больше об этом думать, чтобы знать наверняка. Это хороший вопрос, и я не знаю о существующей работе по этому поводу.

В последнее время исследования фокусировались на том, какие типы игр имеют (наилучшее из возможных) c = 1, в основном из-за возможных приложений для усиления уникальных игр.

• Барак и др. Обобщили контрпример Raz на все уникальные игры с пробелами в SDP.
• Раз и Розен показали, что для расширения проекционных игр с = 1. Существуют также предыдущие результаты супер-набора этих авторов для бесплатных игр.

У меня есть потенциальная игра, и я хотел бы получить обратную связь.

Пусть - целое число, а m - целое число, по крайней мере, 3 k + 1 с . Игра с циклической мощностью - это игра 2P1R, в которой проверяющие пытаются убедить верификатора в том, что граф имеет раскраску. Здесь, называется граф с вершинами , заданных целых чисел по модулю с ребрами , если mod расстояние не более . Если существует -краска , она должна быть задана путем выбора порядка$k \geq 2$$m$$3k+1$$m \not\equiv 0 {\pmod {k+1}}$ k + 1 C k m m m k k + 1 C k m { 1 , … , k } { 0 , … , m - 1 } k + 1 { 0 , … , m - 1 } м к + $C_{m}^k$$k+1$$C_m^k$$m$$m$$k$$k+1$$C_m^{k}$$\{1,\dots,k\}$ и раскрашивание чисел в этом порядке, поскольку каждый набор последовательных целых чисел в сформировать клику. Поскольку не кратно , будет некоторая точка, в которой эта раскраска не удалась.$\{0,\dots,m-1\}$$k+1$$\{0,\dots,m-1\}$$m$$k+1$

Верификатор либо запрашивает одну вершину у обоих игроков, чтобы убедиться, что цвета совпадают, либо запрашивает ребро, чтобы убедиться, что цвета разные.

Я считаю, что это хороший пример по двум причинам:

1. Это достаточно похоже на игру с нечетным циклом, что стратегия может быть построена аналогично нижней границе Раца. Важной частью этой стратегии является случайный выбор раскрасок между повторениями с использованием общей случайности.

2. Путем рандомизации перестановок, используемых в случайно сгенерированных раскрасках, количество ответов, даваемых в каждой вершине, равномерно охватывает весь набор ответов, атакуя стратегию Рао.

Эта игра уже была рассмотрена / решена?