Доказательство использования помощника в исследовании теории сложности?

Учитывая темы, затронутые на конференции, такие как STOC, активно ли исследователи алгоритмов или сложности используют COQ или Изабель? Если да, то как они используют это в своих исследованиях? Я предполагаю, что большинство людей не будут использовать такие инструменты, потому что доказательства были бы слишком низкими. Кто-нибудь использует этих помощников в доказательстве таким образом, который имеет решающее значение для их исследований, в отличие от хорошего дополнения?

Мне интересно, потому что я мог бы начать изучать один из этих инструментов, и было бы интересно узнать о них в контексте доказательств сокращения, правильности или времени выполнения.

— nish2575
источник

Вы хотите исключить «Теорию Б» и, в частности, теорию языков программирования? Насколько я понимаю, помощники по доказательству гораздо чаще используются в ЛП ...

— Джошуа

Я посмотрел термин, я думаю, что я сосредоточен на приложениях в рамках «Теории А»

— nish2575

Насколько мне известно, большая часть Теории А относится к той же категории, что и большая часть остальной математики: к этим системам было добавлено лишь немного оснований, поэтому большинству интересных теорем потребовались бы значительные усилия, чтобы сначала разработать инфраструктура для реализации необходимых определений. Есть несколько интересных моментов теории автоматов, которые были формализованы, так что это может быть место для поиска.

— Саламон

Результаты теории сложности, как правило, доказуемы в гораздо более слабых системах, обычно вам даже не нужен PA. Я бы сказал, что Кок и Изабеллер не очень подходят для теории сложности. Существуют почти формальные эскизы доказательства, подобные тем, которые есть в книге Кука и Нгуена, но основной интерес заключается в том, чтобы доказать их в системе доказательств, связанной с классами сложности. Зачем их доказывать, скажем, леммой о переключении в Coq, когда это можно доказать в гораздо более слабых системах?

— Каве

@Kaveh Слабость / сила различных систем доказательств здесь не проблема: мы бы хотели формально проверить доказательства в теории сложности по той же причине, по которой мы хотели бы проверить программы: иметь более высокие степени надежности. Кроме того, это также интересная задача расширить теорию доказательств, чтобы они могли более удобно обрабатывать доказательства теории сложности.

— Мартин Бергер

Ответы:

Общее эмпирическое правило заключается в том, что чем более абстрактной / экзотической математикой вы хотите заниматься, тем легче становится. И наоборот, чем конкретнее / знакомее математика, тем сложнее будет. Так (например) редкие животные, такие как предикативная топология без точек, гораздо легче механизировать, чем обычная метрическая топология.

Поначалу это может показаться немного удивительным, но это в основном потому, что конкретные объекты, такие как действительные числа, участвуют в большом разнообразии алгебраических структур, и доказательства с их помощью могут использовать любое свойство из любого их представления. Таким образом, чтобы иметь обыкновение рассуждать, к которому привыкли математики, вы должны механизировать все эти вещи. Напротив, высоко абстрактные конструкции обладают (намеренно) небольшим и ограниченным набором свойств, поэтому вам придется гораздо меньше механизировать, прежде чем вы добьетесь хороших результатов.

Доказательства в теории сложности и алгоритмах / структурах данных имеют тенденцию (как правило) использовать сложные свойства простых гаджетов, таких как числа, деревья или списки. Например, комбинаторные, вероятностные и теоретико-числовые аргументы обычно появляются одновременно в теоремах теории сложности. Получение поддержки библиотеки «Доказательство помощника» до такой степени, что это приятно делать - довольно много работы!

Один контекст, в который люди готовы вкладывать свои работы, - это криптографические алгоритмы. Существуют очень тонкие алгоритмические ограничения по сложным математическим причинам, и поскольку криптографический код выполняется в состязательной среде, даже малейшая ошибка может иметь катастрофические последствия. Так, например, проект Certicrypt построил много инфраструктуры верификации с целью создания проверенных компьютером доказательств правильности криптографических алгоритмов.

— Нил Кришнасвами
источник

Одним из наиболее ярких примеров является, конечно, формализация Gonthiers Coq теоремы о 4 цветах в Coq, в которой используется много комбинаторики.

Мой коллега Ули Шёпп использовал библиотеку ssreflect, разработанную Gonthier для этой цели, чтобы проверить (и немного расширить) также в Coq результат, полученный Cook и Rackoff на автоматах графа. https://scholar.google.at/scholar?oi=bibs&cluster=4944920843669159892&btnI=1&hl=de (Schöpp, U. (2008). Формализованная нижняя граница достижимости неориентированного графа. В логике для программирования, искусственного интеллекта и рассуждения ( С. 621-635). Спрингер Берлин / Гейдельберг.)

— Мартин Хофманн
источник