Переход моноидного членства для DFA

Учитывая полный DFA $A=(Q, \Gamma, \delta, F)$мы можем определить коллекцию функций $f_a$ для каждого $a\in \Gamma$и с $f_a:Q\rightarrow Q$, $f_a(q)=\delta(q, a)$, Мы можем обобщить это понятие на слово$w=a_1, \cdots, a_m$ а также $f_w=f_{a_1}\circ \cdots \circ f_{a_m}$ где $\circ$обозначает функцию композиции. Кроме того, мы обозначаем$G=\{f_w\mid w\in \Gamma^*\}$ а также $G$ является моноидом

[$G$обычно называется переходным моноидом в стандартном учебнике, но здесь я привожу определение для ясности.]

Вопрос, учитывая функцию $f:Q\rightarrow Q$мы можем решить $f\in G$ (в идеале за полиномиальное время), и если это так (то есть существует $w$ такой, что $f=f_w$), будь то $w$ является только полиномиально длинной или может быть экспоненциально длинной?

[Я думаю, что действительно такое слово может быть экспоненциально длинным, но я ищу простой пример.]

Разрешимость

Это разрешимо. Есть только конечное число возможных функций$f:Q \to Q$, так что вы можете смоделировать это как проблему достижимости графа, с одной вершиной на функцию и ребром $g \to h$ если существует $a \in \Gamma$ такой, что $h = f_a \circ g$, Затем, проверяя, является ли функция$g$ в $G$ сводится к тестированию $g$ достижим в графе от $f_\epsilon$, Вы можете найти самое короткое такое слово, используя ширину в первый раз. Время выполнения может быть экспоненциальным в$Q$, хоть.

Длина слова

Самое короткое такое слово может быть экспоненциально длинным. Вот пример такого DFA. Позволять$p_1,\dots,p_k$ быть первым $k$простые числа. Тогда состояние будет иметь вид$(i,x)$ где $i \in \{1,\dots,k\}$ а также $x_i \in \{0,1,\dots,p_i-1\}$, Определите DFA с одинарным алфавитом$\Gamma=\{0\}$ и функция перехода $\delta((i,x),0 = (i,x+1 \bmod p_i)$, Функция$f_0 :Q \to Q$ дан кем-то

$$f_0(i,x) = (i,x+1 \bmod p_i).$$

Теперь рассмотрим функцию $g:Q \to Q$ дано

$$g(i,x) = (i,x-1 \bmod p_i).$$

Можно использовать теорему об остатках в Китае, чтобы показать, что $g = f_{0^n}$ где $n=p_1 \times p_2 \times \cdots \times p_k -1$и что $0^n$самое короткое такое слово. Более того,$|Q|= p_1 + \dots + p_k$, так $n$ экспоненциально велик в $Q$,

Следовательно, нет никакой надежды на алгоритм полиномиального времени, который выводит такое слово. Это все еще оставляет открытой возможность использования алгоритма полиномиального времени для$g$ в $G$, хоть.