Автоматы распознавания

Позволять $\Sigma$быть конечным алфавитом. код $X$ над $\Sigma$ это подмножество $\Sigma^*$ так, что каждое слово в $X^*$ может быть однозначно представлен в виде объединения слов в $X$, Код$X$является конечным , если$|X|$конечно. Что известно о (минимальных) автоматах распознавания$X^*$ для конечного кода $X$? Есть ли характеристика таких автоматов (в терминах структуры автомата, не зная,$X$)? Возможно ли, имея такой автомат, извлечь код$X$ в полиномиальное время?

Я также заинтересован в этих вопросах, когда мы опускаем тот факт, что $X$ является кодом, т. е. предполагается, что $X$ это конечный набор слов.

Поскольку этот вопрос долгое время не получал ответа, позвольте мне предложить частичный ответ на первую часть вопроса:

Что известно о (минимальных) автоматах распознавания $X^∗$ для конечного кода $X$?

Учитывая конечный набор слов $X$, То цветок автомат из$X^*$ конечный недетерминированный автомат $\mathcal{A} = (Q, A, E, I, F)$, где $Q = \{1, 1\} \cup \{ (u, v) \in A^+ \times A^+ \mid uv \in X \}$, $I = F = \{(1,1)\}$с четырьмя типами переходов:

$$\begin{align*} (u, av) &\enspace{\buildrel{a} \over\longrightarrow}\enspace (ua, v) \text{ such that } uav \in X,\ (u, v) \neq (1,1) \\ (u, a) &\enspace{\buildrel{a} \over\longrightarrow}\enspace (1, 1) \text{ such that } ua \in X,\ u \neq 1 \\ (1, 1) &\enspace{\buildrel{a} \over\longrightarrow}\enspace(a, v) \text{ such that } av \in X,\ v \neq 1\\ (1, 1) &\enspace{\buildrel{a} \over\longrightarrow}\enspace (1, 1) \text{ such that } a \in X \bigr\} \end{align*}$$ Легко видеть, что этот автомат распознает $X^*$, Например, если$A= \{a, b\}$ а также $X = \{a, ba, aab, aba\}$Цветочный автомат $X^*$ является следующим

$\qquad\qquad\qquad$

Напомним, что автомат однозначен, если, учитывая два состояния$p$ а также $q$ и слово $w$есть не более одного пути из $p$ в $q$ с этикеткой $w$, Тогда имеет место следующий результат:

Теорема [1, теорема 4.2.2]. Набор$X$ это код, если цветочный цветок $X^*$ однозначно.

Цветочный автомат также обладает алгебраическим свойством, что делает его относительно близким к минимальному автомату. Это свойство верно для любого конечного множества$X$, но легче заявить, избавившись от пустого слова, то есть, рассматривая язык как подмножество $A^+$ вместо $A^*$,

Напомним, что конечная полугруппа $R$является локально тривиальным , если для каждого идемпотенту$e \in R$, $eRe = \{e\}$, Морфизм$\pi:R \to S$является локально тривиальным , если для каждого идемпотенту$e$ в $S$полугруппа $\pi^{-1}(e)$ локально тривиален.

Полугруппа переходов $T$ цветочного автомата $X^+$называется цветок полугруппа из$X^+$, поскольку$T$ признает $L^+$есть сюрфективный морфизм $\pi$ от $T$ на синтаксическую полугруппу $S$ из $X^+$,

Теорема . Морфизм$\pi:T \to S$ локально тривиален.

Важным следствием этого результата является то, что полугруппа цветов и синтаксическая полугруппа имеют одинаковое число регулярных $\mathcal{J}$-классов.

Ссылки

[ 1 ] Дж. Берстель, Д. Перрен, К. Рейтенауэр, Коды и Автоматы . Энциклопедия математики и ее приложений, 129. Издательство Кембриджского университета, Кембридж, 2010. XIV + 619 с. ISBN: 978-0-521-88831-8