Что такое оракул минимальной сложности, который отделяет PSPACE от полиномиальной иерархии?

Фон

Известно , что существует оракул такое , что .P S P A C E A ≠ P H $A$$PSPACE^A \neq PH^A$

Даже известно, что разделение справедливо относительно случайного оракула. Неофициально можно интерпретировать это как означающее, что существует много оракулов, для которых и разделены.P $PSPACE$$PH$

Вопрос

Насколько сложны эти оракулы, которые отделяют от . В частности, существует ли оракул такой, что ?P H A ∈ D T I M E ( 2 2 n ) P S P A C E A ≠ P H $PSPACE$$PH$$A \in DTIME(2^{2^{n}})$$PSPACE^A \neq PH^A$

Есть ли у нас оракул такой, что и имеет верхнюю границу известной сложности?P S P A C E A ≠ P H A$A$$PSPACE^A \neq PH^A$$A$

Примечание: существование такого оракула может иметь разветвления в теории структурной сложности. См. Следующее обновление ниже для получения дополнительной информации.

Обновление с подробной информацией о технике нижней границы

Утверждение: Если , то для всех оракулов , .A ∈ P / p o l y P S P A C E A = P H $PSPACE = PH$$A \in P/poly$$PSPACE^A = PH^A$

Эскиз доказательства: предположим, что .$PSPACE = PH$

Пусть дан оракул . Мы можем построить полиномиальное время оракула Тьюринг машина , что для заданной длины , угадывает схему размера с использованием экзистенциальной количественной оценки и проверяет , что схема принимает решение пути сравнения оценки схемы и результата запроса для каждой длины строки используется универсальное количественное определение.Σ 2 M n p ( n ) A $A \in P/poly$$\Sigma_2$$M$$n$$p(n)$$A$$n$

Далее рассмотрим решение проблемы, которую я называю квантифицированной логической схемой (QBC), где вам дана квантифицированная логическая схема и вы хотите знать, действительна ли она (аналогично QBF). Эта проблема является PSPACE-полной, потому что QBF является PSPACE-полной.

По предположению следует, что QBC . Допустим, для некоторого достаточно большого размера. Пусть обозначает полиномиальное время машина Тьюринга, которая решает QBC.Q B C ∈ Σ k k N Σ $\in PH$$QBC \in \Sigma_k$$k$$N$$\Sigma_k$

Мы можем смешиваться вычисление и (подобно тому , как это делается при доказательстве теоремы Карп-Lipton) , чтобы получить полиномиальное время оракул машина Тьюринга , которая решает .N Σ k Q B C $M$$N$$\Sigma_k$$QBC^A$

Неофициально, эта новая машина принимает в качестве входных данных оракула QBC (то есть QBC с воротами оракула). Затем он вычисляет схему, которая вычисляет на входах длины (одновременно удаляя первые два квантификатора). Далее, он заменяет оракула ворота в оракула QBC со схемой для . Наконец, он продолжает применять оставшуюся часть алгоритма полиномиального времени для решения на этом модифицированном экземпляре.n A Σ k Q B $A$$n$$A$$\Sigma_k$$QBC$

Теперь мы можем показать условную нижнюю границу.

Следствие: если существует оракул такой, что , то .P S P A C E A ≠ P H A N E X P ⊈ P / p o l $A \in NEXP$$PSPACE^A \neq PH^A$$NEXP \nsubseteq P/poly$

Доказательство Sketch: Предположим , что существует такое , что . Если , мы получим противоречие.P S P A C E A ≠ P H A N E X P ⊆ P / p o l $A \in NEXP$$PSPACE^A \neq PH^A$$NEXP \subseteq P/poly$

В частности, если , то согласно приведенному выше утверждению имеем . Однако известно, что подразумевает, что .Р С Р С Е ≠ Р Н Н Е Х Р ⊆ Р / р о л у P S P A C E = P $NEXP \subseteq P/poly$$PSPACE \neq PH$$NEXP \subseteq P/poly$$PSPACE = PH$

(см. здесь некоторые подробности об известных результатах для P / poly)

Я полагаю, что если вы проследите аргумент, приведенный, например, в разделе 4.1 опроса Ker-I Ko , вы получите верхнюю границу . Фактически, мы можем заменить здесь любой функцией где как . Это не совсем то, о чем просили, но это близко.n 2 n f ( n ) f ( n ) → ∞ n → $\mathsf{DTIME}(2^{2^{O(n^2)}})$$n^2$$nf(n)$$f(n) \to \infty$$n \to \infty$

В частности, используя перевод между разделением оракула и нижними границами контура и следуя обозначениям Ко, мы имеем следующее:

• Диагонализируем по строкам длины где - это « полином» (в некоторых перечислениях алгоритмов поли-времени) и будет указано ниже.p n ( x ) = x n + n n m ( n $t(n) = p_n(m(n))$$p_n(x) = x^n + n$$n$$m(n)$

• Переводя в нижние границы цепей, это означает, что мы рассматриваем схемы ограниченной глубины на входах.$2^{t(n)}$

• Требование (см. Стр. 15 Ко) нам нужно чтобы удовлетворить $m(n)$для всехn. Здесьd- глубина схем, против которых мы хотим диагонализировать, или, что эквивалентно, уровеньΣ p d вPH,против которого мы хотим диагонализировать. Чтобы диагонализировать всеPH, просто выберитеdкак функцию отn,то естьω(1); мы можем выбрать такой$\frac{1}{10} 2^{m/(d-1)} > d p_n(m(n))$$n$$d$$\mathsf{\Sigma_d^p}$$\mathsf{PH}$$\mathsf{PH}$$d$$n$$\omega(1)$$d$хотя он растет произвольно медленно (возможно, при условии некоторого предположения о вычислимости , но это не должно быть препятствием). Если мы предположим, что d ( n ) является постоянной величиной (хотя это не так, но она будет расти произвольно медленно), то мы увидим, что m ( n ) около 2 n должно работать.$d(n)$$d(n)$$m(n)$$2^n$

• Это означает , что , поэтому мы ищем нижнюю границу от цепей с ~ 2 2 п 2 входами.$t(n) \sim 2^{n^2}$$\sim 2^{2^{n^2}}$

• Тревисано и Сей (КТС '13) показали , что можно найти задание , на котором данный ограниченную глубину контур на входах не вычисляет соотношение с семени р ø л у л о г ( Н ) длиной.$N$$polylog(N)$

• Для нас , поэтому p o l y l o g ( N ) = 2 O ( n 2 ) . Мы можем перебить силу таких семян за 2 2 O ( n 2 ) времени и использовать первый, который работает.$N=2^{2^{n^2}}$$polylog(N) = 2^{O(n^2)}$$2^{2^{O(n^2)}}$

Чтобы заменить на n f ( n ) , просто вместо этого пусть p n ( x ) = x f ( n ) + f ( n ) .$n^2$$nf(n)$$p_n(x) = x^{f(n)} + f(n)$

Интересно, что, если я правильно понимаю, я полагаю, что это означает, что если можно улучшить Тревизан-Сюэ ...

• ... к псевдодетерминированному алгоритму / алгоритму Белладжио (см. комментарий Эндрю Моргана ниже) можно было бы получить, что ; или$\mathsf{BPEXP} \not\subseteq \mathsf{P/poly}$

• ... чтобы недетерминированной алгоритм , который догадался бит , но затем побежал в р ø л у ( N ) времени, и таким образом, что на любом пути принимающего это делает тот же результат ( ср N P S V ), это будет означать N E X P ⊈ P / p o l y ; или$polylog(N)$$poly(N)$$\mathsf{NPSV}$$\mathsf{NEXP} \not\subseteq \mathsf{P/poly}$

• ... для детерминированного алгоритма можно получить .$\mathsf{EXP} \not\subseteq \mathsf{P/poly}$

С одной стороны, это говорит о том, почему де-рандомизация леммы о переключении должна быть сложной - аргумент, который я не уверен, был известен раньше! С другой стороны, это кажется мне интересным взглядом на жесткость в сравнении со случайностью (или это на самом деле новое, оракулы в сравнении со случайностью?).