Нижняя граница для числа «коротких» путей в корневом дереве с полиномиальным размером

Пусть - корневое двоичное дерево. Каждый путь от корня до листа имеет длину . Каждый узел всегда имеет левый и правый дочерние узлы, но возможно, что они одинаковы (поэтому всегда возможно путей). Размер ограничен . Узел с разными дочерними узлами называется ветвящимся узлом . $T$ $T$ $n$ $T$ $2^n$ $T$ $O(poly(n))$

Мы говорим, что два пути различны, если есть один общий ветвящийся узел, и один путь идет к левому дочернему узлу, а другой путь идет к правому дочернему узлу. Ясно, что в есть хотя бы один путь с ветвящимися узлами. Иначе в было бы слишком много узлов . $T$ $O(\log n)$ $T$

Существует ли лучшая нижняя граница для числа путей с ветвящимися узлами, если я знаю, что в дереве есть ветвящихся узлов? $O(\log n)$ $\omega(\log n)$

graph-theory tree

— Марк Бери
источник

@Marc: Буква (5-я строка) явно из "слишком большого количества узлов" (7-я строка)?

T

$T$

— Александр Бондаренко

@Marc: Не могли бы вы уточнить ваше утверждение: «два пути различны, если они используют разные дочерние узлы в разветвляющемся узле». Вы имеете в виду, что они разные, если есть такой ветвящийся узел, где они используют разные дочерние узлы?

— Александр Бондаренко

Я редактирую вопрос и пытаюсь сделать его более точным.

— Марк Бери

Как насчет дерева, которое имеет только один путь (и узлов)? Это разрешено?

n

$n$

— Питер Шор

Это хороший вопрос. Это разрешено, но это не интересный случай :) Затем мы должны сделать нижнюю границу для числа ветвящихся узлов в дереве, например, ветвящихся узлов.

ω (\log n)

$\omega(\log n)$

— Марк Бери

Нижняя граница - пути с ветвящимися узлами, если в дереве есть хотя бы ветвящихся узлов. $\Omega(\log n)$ $O(\log n)$ $\Omega(\log n)$

Это может быть достигнуто: используйте дерево, которое имеет один длинный путь (длина ), все узлы которого являются узлами ветвления, без других узлов ветвления в дереве. $n$

Вот эскиз нижней границы.

Во-первых, уплотните дерево, сжимая любой внутренний узел, который не является ветвящимся узлом. Если исходный размер дерева был , новое дерево все равно должно быть , поскольку вы только сократили количество узлов. Теперь глубина листа - это число ветвящихся узлов на исходном пути к этому листу, и у нас есть полное двоичное дерево (каждый узел имеет степень 2 или 0). $< n^c$ $< n^c$

Если нет листьев глубины , то число путей на единицу больше, чем число ветвящихся узлов, которое равно , поэтому мы можем предположить, что хотя бы один лист имеет глубина . $\Omega(\log n)$ $\Omega(\log n)$ $\Omega(\log n)$

Далее вспомним неравенство Крафта. Если глубина листа в полном двоичном дереве равна , то . $d(v)$ $\Sigma_{v \mathrm{\ leaf}} 2^{-d(v)} = 1$

Теперь у нас меньше, чем листьев. Мы хотим показать, что у нас их много на глубине . Предположим, мы исключаем из рассмотрения те, которые имеют глубину не менее . Это убирает не более веса из суммы в неравенстве Крафта, поэтому для этих листьев на глубине не более , мы имеем . У нас также есть (поскольку по крайней мере один лист имеет слишком большую глубину, чтобы включить его в эту сумму). $n^c$ $O(\log n)$ $\log_2(n^{c+1}) = (c+1) \log_2 n$ $1/n$ $v$ $d(v)\leq (c+1) \log_2 n$ $\sum_{v\mathrm{\ low \ depth \ leaf}} 2^{-d(v)} > 1-\frac{1}{n}$ $\sum_{v\mathrm{\ low\ depth\ leaf}} 2^{-d(v)} < 1$

Довольно легко показать, что для получения суммы чисел строго между и нам нужно по крайней мере из них. Это показывает, что существуют пути с ветвящимися узлами. $2^{-k}$ $1$ $1-\frac{1}{n}$ $\log_2 n$ $\Omega(\log n)$ $O(\log n)$

— Питер Шор
источник

Если кому-то интересно, почему я называю уравнение неравенством, неравенство Крафта имеет знак равенства для полных двоичных деревьев.

— Питер Шор

Спасибо за этот хороший ответ. Я не знал неравенства Крафта до сих пор. Очень полезное неравенство.

— Марк Бери