Эффективно найти 5-цикл в разреженном графе.

(вставлено из MathOverflow)

Здравствуй,

Я читал эту тему: /mathpro/16393/finding-a-cycle-of-fixed-length

Я хочу найти 5-цикл в графике. На самом деле, то, что я действительно хочу, это кратчайший нечетный цикл длиной не менее 5, но, возможно, это немного не относится к делу. В моих целях я рассматриваю и одинаково в анализе сложности. $m$ $n$

Можем ли мы сделать лучше, чем цветовое кодирование, чтобы найти 5-цикл в этом случае? Позвольте мне дать конкретную формулировку моего вопроса:

Какой минимальный такой, что существует алгоритм времени для обнаружения цикла длиной 5? Какой алгоритм? И что это за если вы запрещаете непрактичные методы, такие как быстрое умножение матриц Копперсмит-Виноград? $\alpha$ $O(m^\alpha)$ $\alpha$

— Эндрю Д. Кинг
источник

Кросспост из МО.

— Сянь-Чи Чанг 之之

У ваших графиков есть какая-то особая структура, кроме того, что они разрежены? (Например, низкое вырождение.)

— Робин Котари

Нет, вы можете сделать график настолько дьявольским, насколько захотите. На самом деле меня даже не волнует, является ли график разреженным: я рассматриваю линейный граф и лежащий в его основе граф такой, что (можно считать, что прост). Причина, по которой я лечуито же самое, что я знаюи я хочу проанализировать сложность с точки зренияи, но я не могу ничего сказать о том, каксравнивается с,

G

$G$

H

$H$

G = L (H)

$G=L(H)$

H

$H$

| E (H) |

$|E(H)|$

| V (H) |

$|V(H)|$

| E (H) | = | V (G) |

$|E(H)|=|V(G)|$

| V (G) |

$|V(G)|$

| E (G) |

$|E(G)|$

| E (H) |

$|E(H)|$

| V (H) |

$|V(H)|$

— Эндрю Д. Кинг

Чтобы было ясно, вы не возражаете, если цикл содержит повторяющиеся вершины, правильно?

— user834

Я не допускаю повторных вершин, но для 5-ти циклов это не имеет значения, потому что я предполагаю, что граф прост и поэтому не имеет 2-х циклов.

— Эндрю Д. Кинг

Ответы:

Чтобы добавить к ответу Михая:

Действительно, 5-цикл (и вообще -цикл ) в разреженных графах может быть решен намного быстрее, чем время используя трюк с высокой / низкой степенью. Вам нужно только взглянуть на еще одну статью Алона, Юстера и Цвика: $k$ $O(mn)$

http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/summary?doi=10.1.1.101.4120

Например, 5-цикл может быть найден за время , без какой-либо зависимости от умножения матриц. См. Теорему 3.4 вышеупомянутой связанной статьи. $O(m^{1.67})$

Кроме того, хотя не так сложно уменьшить 5-тактное обнаружение до умножения на булеву матрицу (с постоянными факторами), уменьшение в обратном направлении не проявляется в бумаге с цветовым кодированием. Точное сокращение (которое сохраняет сложность времени выполнения) от умножения логической матрицы до 5-тактного обнаружения не известно.

— Райан Уильямс
источник

Плотный регистр по существу эквивалентен умножению логической матрицы с помощью цветового кодирования. См. Http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/download?doi=10.1.1.103.5167&rep=rep1&type=pdf .

$O(mn)$

— Михай
источник

Спасибо! Я посмотрю на газету Моньена, когда смогу получить к ней доступ.

— Эндрю Д. Кинг