Добавьте соответствие к гамильтонову пути, чтобы уменьшить максимальное расстояние между заданными парами вершин

Какова сложность следующей проблемы?

Вход :

гамильтонов путьв $H$ $K_n$
$R \subseteq [n]^2$ подмножество пар вершин
положительное целое число $k$

Запрос : существует ли сопоставление $M$ такое, что для каждого $(v,u) \in R$ , $d_G(v,u) \leq k$ ?
(где $G = ([n], M\cup H)$ )

У меня была дискуссия с другом об этой проблеме. Мой друг считает, что проблема в полиномиальном времени. Я думаю, что это NP-полная.

— PFIM
источник

Вы можете упростить это дальше, по крайней мере, с точки зрения представления. Вам дано

, путь с

вершинами и набор

пар этих вершин. Вы хотите дополнить путь соответствием так, чтобы расстояние между любой парой в

не больше

k

$k$

n

$n$

R

$R$

R

$R$

k

$k$

— Сашо Николов

Я думаю, что эта формулировка может сбить с толку после моего последнего редактирования, чтобы убрать некоторую двусмысленность.

— пфим

Моя интерпретация верна, не так ли?

— Сашо Николов

Я сделал правку, чтобы сделать постановку задачи более строгой. Я думаю, что это можно еще больше упростить, поскольку вы можете просто предположить, что H - это гамильтонова траектория 1-2-3-4-5 ...- n без потери общности. Так что вам просто нужно

n

$n$

— Каве

Ответы:

Этот ответ неверен .

Твой друг прав. Ваша проблема (как интерпретируется Sasho) не накладывает каких - либо ограничений по мощности согласующего . Таким образом, выбор , чтобы быть соответствие между парами в . Тогда для любого натурального числа расстояние между каждой парой в меньше, чем . $C$ $C$ $R$ $k$ $R$ $k$

Ваша проблема становится интересно , если вы заставляете путь содержат ребро из обоего согласующих и пути . $C$ $P$

— Мухаммед Аль-Туркистани
источник

Что вы подразумеваете под «соответствием между парами в

»?

R

$R$

— Эмиль Йержабек поддерживает Монику

@ EmilJeřábek Это означает соединение узлов каждой пары в

ребром. Так что

- это просто

с ребром, соединяющим каждую пару. Это эквивалентно тому , пополняя путь

с идеальной марширующих по парам

R

$R$

C

$C$

R

$R$

P

$P$

R

$R$

— Мухаммед Аль-Туркистани

Это не имеет большого смысла для меня. Что если

не совпадает? Скажем, если

содержит пары

, как вы выбираете

R

$R$

R

$R$

(1, 2)

$(1,2)$

(1, 3)

$(1,3)$

C

$C$

— Эмиль Йержабек поддерживает Монику

@ EmilJeřábek Да. Ваша точка зрения действительна. Я отредактирую свой ответ.

— Мухаммед Аль-Туркистани

@pfim Можно ли сформировать кратчайший путь, используя только ребра из

C

$C$

— Мухаммед Аль-Туркистани

ОБНОВЛЕНИЕ: ответ ниже не является правильным, потому что я ошибочно предположил, что гамильтонов путь лежит в произвольном графе, а не в . Я оставляю его без изменений, возможно, я смогу это исправить или он даст некоторые подсказки для другого ответа. $K_n$

Я думаю, что это NP-полная. Это очень неформальная / быстрая идея сокращения от 3SAT

Для каждой переменной добавляю «гаджет переменной» с: $x_i$

три узла $X_i, +X_i, -X_i$
два переменных ребра и $(X_i,+X_i)$ $(X_i,-X_i)$

Добавьте исходный узел и подключите его ко всем переменным . $S$ $X_i$

Для каждого предложения добавьте узел и соедините его с соответствующими переменными или которые образуют предложение. $C_j$ $C_j$ $+X_i$ $-X_i$

На следующем рисунке изображено: $(+x_1 \lor -x_2 \lor -x_3) \land (-x_2 \lor x_3 \lor x_4)$

Множество (узлы , которые должны быть связаны) содержит $R$ $(S, C_1), (S,C_2), ...$

Простой путь должен включать все «СИНИЕ» ребра, кроме переменных ребер и (на рисунке выше синие ребра представляют ребра, которые мы включаем в ). $P$ $(X_i, +X_i)$ $(X_i, -X_i)$ $P$

На этом этапе исходная формула выполнима тогда и только тогда, когда кратчайший путь от к каждому узлу предложения не больше трех. В самом деле, чтобы достичь предложения из за три шага, мы должны пройти хотя бы одну переменную : . Таким образом, мы должны пересечь одно из двух ребер: или и включить его в $S$ $C_j$ $S$ $X_i$ $S \to X_i \to \pm X_i \to C_j$ $X_i \to +X_i$ $X_i \to -X_i)$ $C$ (потому что по построению это не часть ). Но оба не могут быть включены, потому что они имеют общую вершину. $P$

Но мы не уверены, что сможем построить простой путь который включает все синие ребра, потому что некоторые узлы имеют более одного падающего синего ребра. $P$

Чтобы исправить это, мы заменим каждый узел множеством падающих синих ребер деревом, содержащим только пары падающих синих ребер, которые будут включены в и ребрами, которые их разделяют, и которые должны быть включены в чтобы достичь узлов предложения: $P$ $C$

Исходный график становится:

$K$ $C_j$ $S$

$C$

$P$

— Марцио де Биаси
источник

Меня беспокоит попытка построить путь, содержащий все синие ребра: в некоторых вершинах более двух синих ребер, падающих на них, поэтому не может быть ни одного простого пути, включая все синие ребра.

— Михаил Рудой

Хорошо, спасибо ... Я полностью забыл, что такое простой путь :-( ... теперь он должен быть исправлен.

— Марцио Де

Этот пост по математике. Предполагается, что проблема не является NP-полной. Это может быть неразрешимым, но решаемым в квазиполиномиальном времени math.stackexchange.com/questions/2218929/…

— Мохаммад Аль-Тюркистани

@ MohammadAl-Turkistany: вы видите недостаток в текущей версии ответа?

— Марцио Де

Нет, я не вижу очевидного недостатка.

— Мохаммед Аль-Туркистани