Является ли SAT ограниченной ширины разрешимым в пространстве журналов?

Elberfeld, Jakoby и Tantau 2010 ( ECCC TR10-062 ) доказали неэффективную версию теоремы Бодлендера. Они показали, что для графов с шириной дерева не более разложение дерева шириной можно найти с помощью логарифмического пространства. Постоянный множитель в границе пространства зависит от . (Теорема Бодлендера показывает линейную временную границу с экспоненциальной зависимостью от в постоянном множителе.) $k$ $k$ $k$ $k$

SAT становится легким, когда набор предложений имеет небольшую ширину. В частности, Fischer, Makowsky и Ravve 2008 показали, что выполнимость формул CNF с шириной трехугольников графа инцидентности, ограниченного можно определить с помощью не более арифметических операций, когда дается разложение дерева. По теореме Бодлендера, вычисление разложения дерева графа инцидентности для фиксированного может быть выполнено за линейное время, и, следовательно, SAT может быть решено для формул с ограниченной шириной во времени, которая является полиномом низкой степени по числу переменных . $k$ $2^{O(k)} n$ $k$ $n$

Тогда можно было бы ожидать, что SAT должен быть на самом деле разрешимым, используя логарифмическое пространство, для формул с ограниченной шириной дерева графа инцидентности. Не ясно, как модифицировать Fischer et al. подход для принятия решения SAT в нечто экономичное пространство. Алгоритм работает путем вычисления выражения для числа решений с помощью включения-исключения и рекурсивной оценки числа решений меньших формул. Хотя ограниченная древовидная ширина действительно помогает, подформулы кажутся слишком большими для вычисления в логарифмическом пространстве.

Это заставляет меня спросить:

Известно ли, что SAT для формул с ограниченной шириной находится в или ? $\mathsf{L}$ $\mathsf{NL}$

— Андраш Саламон
источник

Разве тот факт, что SAT в L для экземпляров с ограниченной шириной дерева не следует непосредственно из результатов в статье, которую вы цитировали? Множество выполнимых формул определяется MSO. Следовательно, выполнимость может быть решена за линейное время на графах ограниченной длины дерева с помощью теорем Бодлендера + Курселя. Elberfeld-Jakoby-Tantau-2010, показывают, что свойства MSO могут быть определены в логарифмическом пространстве на графах ограниченной ширины дерева, предоставляя версии теорем Бодлендера + Курселя для логарифмического пространства. Следовательно, SAT можно определить в лог-пространстве на графиках ограниченной длины деревьев.

— Матеус де Оливейра Оливейра

@MateusdeOliveiraOliveira, детали не кажутся мне понятными. SAT определяется MSO через структуру с двумя направленными отношениями ребер (пример 2.18 Иммермана), объединение которых приводит к краям графа инцидентности, когда направление забыто. Тем не менее, мне не ясно, что можно использовать график инцидентности как есть для MSO-определения выполнимости (например, через покрытие набора), чтобы иметь возможность применять Bodlaender / Courcelle / EJT.

— Саламон

@ AndrásSalomon Теорема Курселя может быть сформулирована для графов с цветными вершинами и ребрами. Ширина дерева таких цветных графиков равна ширине дерева неокрашенных версий. Существует много способов моделирования произвольных реляционных структур в виде цветных графов.

— Матеус де Оливейра Оливейра

В случае формул вы хотите определить реляционную структуру, которая одновременно кодирует формулу и график инцидентности. (в противном случае, как бы вы определили выполнимость в первую очередь?) Затем, используя подходящее понятие ширины дерева для такой структуры, мы получаем, что ширина дерева структуры (формула + график инцидентности) не более чем аддитивная постоянная, превышающая ширину дерева один график заболеваемости. Обратите внимание, что существует множество способов определения таких комбинированных реляционных структур, и, по сути, каждый автор использует тот, который наиболее подходит для его / ее контекста.

— Матеус де Оливейра Оливейра

@ Матеус, спасибо! Это довольно полезный комментарий; Я не знал о природе "набора инструментов" ширины дерева в описательной сложности. Хотите превратить это в ответ?

— Саламон

Действительно, используя результаты Elberfeld-Jakoby-Tantau-2010, можно показать, что SAT может быть определено в логарифмическом пространстве по формулам, у которых график инцидентности имеет ограниченную ширину дерева. Вот эскиз того, как идут основные шаги доказательства этого утверждения.

Понятия разложения дерева и ширины деревьев могут быть обобщены на произвольные реляционные структуры. См., Например, разделы 2 и 3 этой статьи Далмау, Колайтиса и Варди.
Теорема Курселя гласит, что логика MSO может быть решена за линейное время на реляционных структурах с постоянной шириной дерева.
$t$ $f(t)\cdot n$
$\tau$ $F$ $I$ $\tau$ $I$
$\tau$
Следовательно, по теореме Бодландера + Курселя можно решить, является ли формула постоянной ширины дерева выполнимой за линейное время.
Elberfeld-Jakoby-Tantau-2010 показывают, что «линейное время» может быть заменено «логарифмическим пространством» как по теореме Бодлендера, так и по Курселю.
$\varphi$ $\tau$ $\tau$ $\varphi$
В частности, SAT можно определить в лог-пространстве на графиках с постоянной шириной дерева.

— Матеус де Оливейра Оливейра
источник