Существуют ли интересные графовые классы, в которых сложно вычислить ширину дерева?

Treewith является важным параметром графа, который указывает, насколько близко граф от дерева (хотя и не в строгом топологическом смысле).

Хорошо известно, что вычисление ширины дерева является NP-сложным.

Существуют ли естественные классы графов, для которых сложно вычислить ширину дерева?

Так же:

Существуют ли интересные графовые классы, где вычисление ширины дерева легко? Если да, есть ли структурное свойство / тест, который можно использовать? То есть граф обладает свойством вычисляющим ширину дерева . $G$ $X$ $\Rightarrow$ $G \in \mathbf{P}$

— PsySp
источник

Для классов графов, где treewidth ограничен или неограничен, вы можете увидеть graphclasses.org; выполните поиск по параметру treewidth, и вы получите список проходов графа, где treewidth ограничена (или не ограничена): graphclasses.org/classes/par_10.html

— Antony

Вы также можете использовать их Java-приложение, чтобы увидеть классы, где разложение по ширине сложно (или просто)

— Cyriac Antony

Treewidth является NP-трудным для вычисления на двудольных графах, действительно оригинальное доказательство NP-твердости для Treewidth Arnborg et al. показывает это. Кроме того, Bodlaender и Thilikos показали, что NP-сложнее вычислить ширину графиков максимальной степени . Наконец, для любого графа древесной ширины по крайней мере , , расями края (то есть, заменяя края на степень вершины , смежной с двумя краевыми конечными точками) не меняет treeewidth графика. Следовательно, NP-трудно вычислить ширину дерева двудольных 2-вырожденных графов произвольно большого обхвата. $9$ $2$ $2$

Эта проблема решается за полиномиальное время на хордовых графах, графах перестановок и, в более общем плане, на всех классах графов с полиномиальным числом потенциальных максимальных клик, см. Эту статью Бушитта и Тодинки. Отметим, что в той же статье показано, что множество потенциальных максимальных кликов графа может быть вычислено из за время . Кроме того, алгоритм Бодлендера определяет, является ли $\Pi(G)$ $G$ $G$ $O(|\Pi(G)|^2 \cdot n^{O(1)})$ $G$ имеет длину дерева не более за время . Следовательно, древесная ширина полиномиальное время разрешимо для графов древесной шириной . $k$ $2^{O(k^3)}n$ $O((\log n)^{1/3})$

Это нерешенная открытая проблема, является ли вычисление ширины дерева плоских графов разрешимым за полиномиальное время или NP завершена. Стоит отметить, что соответствующая ширина ветви параметра графа (которая всегда находится в пределах 1,5 от ширины дерева) вычисляется за полиномиальное время на плоских графах.

— Даниелло
источник

Спасибо. Таким образом, единственный известный класс - это двудольные графы? Свойство потенциальных максимальных клик мне не кажется удивительным. Это свойство P-время проверяется?

— PsySp

3^{n / 3}

$3^{n/3}$

Бодлендер и Тиликос [DAM 79 (1997) 45-61] показали, что вычисление ширины дерева является NP-трудным для графов максимальной степени 9.

— Yota

В дополнение к твердости для двудольных графов, следует также отметить, что вычисление ширины дерева также сложно для двудольных графов, впервые наблюдавшихся, я думаю, Тоном Клоксом в своей диссертации.

— vb le

Вы можете упомянуть, что (почти) ничего не известно о его сложности аппроксимации и параметризованных нижних границах. В принципе, может существовать алгоритм PTAS или алгоритм субэкспоненциального времени, хотя оба они маловероятны. Единственная аппроксимация твердости основана на расширении малого набора (SSE). DOI: 10.1613 / jair.4030.

— Yixin Цао