Сокращения между языками разной плотности?

Плотность языковой является функцией определяется как Пусть и являются языками некоторого конечного алфавита, многих один logspace сводится к , и не в . Функции являются полиномиально связаны , если существуют многочлены и такие , что для всех , и $X$ $d_X \colon \mathbb{N} \to \mathbb{N}$

d_{X} (n) = | {x \in X ∣ | x | \leq n} | .

$d_X(n) = |\{x\in X \mid |x| \le n\}|.$

A

$A$

B

$B$

A

$A$

B

$B$

B

$B$

L = DSPACE (\log n)

$\textsf{L} = \text{DSPACE}(\log n)$

f, g : N \to N

$f,g \colon\mathbb{N} \to \mathbb{N}$

p

$p$

q

$q$

n \in N

$n\in \mathbb{N}$

f (n) \leq p (g (n))

$f(n) \le p(g(n))$

g (n) \leq q (f (n))

$g(n) \le q(f(n))$ .

Если плотность не является полиномиально связанной с плотностью , может ли быть уменьшение логарифмического пространства с до ? $A$ $B$ $B$ $A$

Фон

Я ожидаю, что ответ - нет, но пока не могу это показать.

Ясно, что если находится в то сокращение пространства журналов с до . Таким образом, есть несколько примеров, на которые можно дать определенный отрицательный ответ. $A$ $\mathsf{L}$ $B$ $A$

Сначала я имел в виду случай, когда - некоторый жесткий язык, и получается путем выдувания дырок в , принимая для некоторого языкового промежутка который содержит все слова длины для некоторого множества (см. Schmidt 1985, а также Regan и Vollmer 1997 ). Это гарантирует тривиальное сокращение от до . Языки разрыва обычно имеют экспоненциально увеличивающиеся промежутки между интервалами размеров в $B$ $A$ $B$ $A = B\cap G$ $G$ $n \in S_G$ $S_G \subseteq \mathbb{N}$ $A$ $B$ $G$ . Это гарантирует, что плотности и не связаны полиномиально. Однако, нет никакой гарантиичто дует отверстия на языке всегда приводит к языкукоторый имеет слишком мало структуручтобы быть целью сокращения от . (Термин «выдувание дыр»взятизДауни и Фортнау, 2003 г.) Разницы в плотностях может быть достаточно, чтобы гарантировать это, но я не сразу понимаю, как. $S_G$ $A$ $B$ $B$

Другой пример, когда представляет собой смесь из твердого языка и . Во- первых создать язык неполного пересекающимися некоторого языка с языком зазора . будет содержать только экземпляры размеров, которые находятся в интервалах набора размеров определяющих язык разрыва. Теперь создаст путем смешивания с некоторым тяжелым языком в зазорах, беря объединение и пересечение с дополнением . Если $B$ $A$ $A\not\in\mathsf{L}$ $C \not\in \textsf{L}$ $G$ $A$ $S_G$ $B$ $A$ $D$ $A$ $D$ $G$ $D$ будет достаточно трудно по сравнению с , такие как быть -Жесткий в то время как , то в силу пространственной иерархии теорема не может быть никакого сокращения logspace от к . Затем представляется возможным расширить это , чтобы показать , что не существует никакого сокращения logspace от к . $C$ $D$ $\textsf{2EXPSPACE}$ $C \in \textsf{PSPACE} \setminus \textsf{L}$ $D$ $A$ $B$ $A$

$D$ $C$ $D$ $C$ $D$ $C$ $\mathsf{L} \ne \mathsf{NP}$ $\mathsf{NP} \ne \mathsf{PSPACE}$

cc.complexity-theory reductions structural-complexity

— Андраш Саламон
источник

A

$A$

2^{o (n)}

$2^{o(n)}$

B

$B$

n - 1

$n-1$

Я думаю, что комментарий Даниелло отвечает на вопрос. В общем, сокращение «один-один» очень мало говорит вам о плотности, даже если у вас есть сокращение «один-один» в обоих направлениях. 1-1 редукции и 1-1 редукции в обоих направлениях (или даже более сильные, p-изоморфизмы) дают отношения между плотностью (а именно гипотезой изоморфизма Бермана-Хартманиса, мотивирующей теорему Махани; фактически, я думаю, что изоморфизм BH мог быть главная мотивация смотреть на плотность вообще на первом месте ...)

— Джошуа

$A$ $L$ $A$ $2^{o(n)}$

B = {s \circ 1 | s \in {0, 1}^{*}} \cup {s \circ 0 | s \in A} .

$B = \{s \circ 1 | s \in \{0,1\}^*\} \cup \{s \circ 0 | s \in A\}.$

\circ

$\circ$

B

$B$

Ω (2^{n})

$\Omega(2^n)$

2^{o (n)}

$2^{o(n)}$

A

$A$

B

$B$

A

$A$

B

$B$

0

$0$

B

$B$

A

$A$

1

$1$

0

$0$

B \notin L

$B \notin L$

— Даниелло
источник

B \notin L

$B \not\in \textsf{L}$

A

$A$

A

$A$

@ András Salamon, спасибо за указание на это, отредактировал ответ, чтобы захватить комментарий.

— Даниелло