Сложность вычисления лексикографически минимального элемента орбиты

Учитывая сильные генераторы для группы $(G \leq S_n, *)$ действуя на нити длины $n$ и элемент $s \in \{0, 1\}^n$ Насколько сложно вычислить лексикографически минимальный элемент $G.s$ орбита $s$ в $G$ ?

permutations gr.group-theory complexity

— Сэмюэль Шлезингер
источник

Очевидно, что изоморфизм струн в смысле Бабая сводится к этой задаче, так как

x, y

$x, y$ струны и группа

G

$G$ мы можем просто найти их минимальные представители орбиты, как указано выше, и напрямую сравнить их, но не ясно, что если изоморфизм струн прост, то из этого следует легкость. Я посмотрю, если в статье Бабая указано, как это сделать.

— Сэмюэль Шлезингер

В статье Бабая этот вопрос не рассматривается; на стр. 11 он прямо говорит, что они не занимаются вопросом нормальных форм. Нельзя сказать, что методы не могут быть полезны для нахождения нормальной формы, просто это будет нетривиальным вкладом.

— Джошуа

Спасибо @JoshuaGrochow Я не уверен, есть ли у меня опыт использования этих методов, но я посмотрю, что я могу сделать. Это достаточно сложно, даже если это квазиполиномиальное, что для меня больше не так, как я хотел его использовать.

— Сэмюэль Шлезингер

Если вы заинтересованы в конкретных решениях этой проблемы, я рекомендую вам взглянуть на публикации Т. Юнтиллы (которого я цитирую в своем ответе), особенно его докторскую диссертацию и его работу по изоморфизму и симметрии графов в целом.

— Бозон

Ответы:

Эта проблема $FP^{NP}$ -полный, как показано здесь .

Это означает, что лексикографический лидер орбиты построен в детерминистическом полиномиальном времени с доступом к $NP$ -oracle.

— Бозон
источник

Эта проблема NP-сложная.

Хотя может быть возможно найти некоторую каноническую форму для изоморфизма строк, скажем, в квазиполигональном времени, не расстраивая наши нынешние догадки о том, как выглядит мир сложности, найти лексикографически наименее изоморфную строку сложно с точки зрения NP. Это как раз содержание предложения 3.1 здесь . На самом деле, они показывают, что он остается NP-трудным, даже когда $G$ является элементарной абелевой 2-группой (= каждый нетривиальный элемент $G$ имеет порядок 2).

— Джошуа Грохов
источник