Количественные булевы формулы с логарифмическими чередованиями

Я изучаю проблему, которая трудна для класса количественных логических формул с логарифмическим числом чередований кванторов. Проблема в этом классе будет выглядеть так:

$\forall (x_1, x_2, \ldots x_{a_1}) \exists (x_{{a_1}+1}, \ldots x_{a_2}), \ldots \exists(x_{a_{\log n - 1}}, \ldots x_{a_{\log n}})F$

Там , где журнал п = п , а Р представляет собой логическая формула переменных х 1 ... х п .$a_{\log n} = n$$F$$x_1 \ldots x_n$

Этот класс , очевидно , содержит и содержится в A P = P S P A C E . Есть ли название для этого класса? Что-нибудь еще известно об этом?$PH$$AP = PSPACE$

Опираясь на ответ Майкла Wehar, это , кажется , что вы можете легко показать , что вычисления могут быть закодированы в polysize таких QBFs: вы используете O ( журнал п ) чередования, каждый из p o l y ( n ) битов, и сделать аргумент, аналогичный теореме Савича. Каждые два чередований будут делить время выполнения вычислений с помощью р O л у ( $NTISP(n^{\log n},poly(n))$$O(\log n)$$poly(n)$ фактор.$poly(n)$

Я бы назвал класс , следуя нотации в Fortnow «Компромисс между пространством и временем для удовлетворения», который также можно было бы привести в качестве аргумента, изложенного в предыдущем абзаце (но, пожалуйста, см. Статью для более ранних ссылок).$\Sigma_{O(\log n)} P$

(1) Что мы уже знаем:

Как вы уже заявили, QBF с чередованием квантификаторов труден для каждого уровня полиномиальной иерархии.$\log(n)$

(2) Я думаю, что мы также можем доказать следующее:

Проблема состоит в -Жесткий.$NSPACE(log^2(n))$

(3) Вот мое неофициальное обоснование предыдущего утверждения:

Учитывая пространство связанно НТМ и строка ввода, нам нужно , чтобы определить , существует ли принимающие вычисления на данной строке ввода.$log^2(n)$

Каждая конфигурация в вычислении может быть представлена ​​по существу битами. Другими словами, мы можем представить конфигурацию группой переменных log 2 ( n ) .$\log^2(n)$$\log^2(n)$

Идея состоит в том, что у нас есть начальная конфигурация и конечная конфигурация, и нам нужно угадать вычисления, которые происходят между ними. Мы рекурсивно угадываем «средние» конфигурации с использованием существующих квантификаторов и рекурсивно проверяем, что «левая» конфигурация переходит в «среднюю», а «средняя» конфигурация переходит в «правую», используя для всех квантификаторов.

Теперь, чтобы сделать эту работу, вместо того, чтобы выбирать одну «среднюю» конфигурацию, нам нужно выбрать группу одинаково расположенных «промежуточных» конфигураций между «левой» и «правой» конфигурациями. В частности, мы могли бы догадаться "промежуточных" конфигураций с равным интервалом, используя существующие квантификаторы с$\sqrt{n}$переменных, а затем рекурсивно вычислять каждый разрыв между конфигурациями, используя для всех квантификаторов с примерноlog(n)переменными.$\sqrt{n} * log^2(n)$$\log(n)$

Рекурсия должна продолжаться только до глубины чтобы иметь возможность охватить вычисление длины $2 * \log(n)$где каждая конфигурация имеет не болееlog2(n)много битов.$\sqrt{n} ^ {2 * \log(n)} = n^{\log(n)} = 2^{\log^2(n)}$$\log^2(n)$

Поскольку рекурсия имеет глубину , у нас есть только O ( log ( n ) ) групп переменных, то есть чередований. Поскольку каждая группа квантификаторов имеет только $O(\log(n))$$O(\log(n))$переменных, всего имеемO($\sqrt{n} * log^2(n)$переменных.$O(\sqrt{n} * log^3(n))$

Не стесняйтесь предлагать любые отзывы или исправления. Большое спасибо, и я надеюсь, что это поможет немного.

(4) Более общее утверждение, предложенное ответом Райана:

Вы должны быть в состоянии выполнить предыдущую конструкцию в более общем виде. Учтите следующее:

На каждом шаге рекурсии разбейте на групп «промежуточных» конфигураций, используя c ( n ) битов на конфигурацию. Затем выполните рекурсию на глубину d ( n ) .$g(n)$$c(n)$$d(n)$

Пока у нас не слишком много переменных и слишком много чередований, это, кажется, работает нормально. Грубо говоря, нам нужно следующее:

• $g(n) * c(n) * d(n) \leq n$
• $d(n) \leq \log(n)$

Наш обобщенный подход будет использоваться для моделирования недетерминированных машин Тьюринга, которые выполняются за шагов с использованием c ( n ) битов памяти.$g(n)^{d(n)}$$c(n)$

В частности, мы выбираем следующее:

• $g(n) = \sqrt{n}$

• $c(n) = \frac{\sqrt{n}}{2 * log^2{n}}$

• $d(n) = 2 * \log^2(n)$

Предыдущие неравенства выполняются, и мы можем выполнить построение для моделирования недетерминированных машин Тьюринга, которые работают примерно за шагов, используя $2^{\log^2(n)}$ бит памяти.$\frac{\sqrt{n}}{2 * log^2{n}}$

Другими словами, у нас результат лучше, чем раньше. В частности, проблема сложна для .$NTISP(2^{\log^2(n)}, \frac{\sqrt{n}}{2 * log^2{n}})$

(5) Дальнейшие обобщения:

В предыдущем обобщении мы моделировали недетерминированные ограниченные временем и пространством машины Тьюринга. Тем не менее, мы также можем моделировать чередующиеся ограниченные временем и пространством машины Тьюринга.

Позвольте мне объяснить немного. Таким образом, мы используем примерно чередования для рекурсии в глубину log ( n ) . Тем не менее, мы могли бы использовать некоторые из чередований, скажем, $\log(n)$$\log(n)$ . Тогда мы могли бы использовать оставшиеся$\sqrt{\log(n)}$ чередования идти в глубину$\sqrt{\log(n)}$ .$\sqrt{\log(n)}$

В этом случае мы могли бы смоделировать чередующиеся машины Тьюринга, которые имеют чередований с сублинейными длинами свидетелей, пробег для2 log $\sqrt{\log(n)}$шагов и используйте$2^{\log^{\frac{3}{2}}(n)}$ бит памяти.$\frac{\sqrt{n}}{2 * log^2{n}}$

Другими словами, проблема трудна для с сублинейными длинами свидетелей. Кроме того, этот класс может быть написан с использованиемнотацииSTA,упомянутой в комментариях выше.$AltTimeSpace(\sqrt{\log(n)}, 2^{\log^{\frac{3}{2}}(n)}, \frac{\sqrt{n}}{2 * log^2{n}})$$STA$

Спасибо за комментарии и не стесняйтесь предлагать любые дальнейшие исправления или разъяснения. :)

Короче ответ.

Начальные наблюдения:

• Проблема сложна для каждого уровня полиномиальной иерархии.
• Проблема чередуется с чередующимися машинами Тьюринга с $\log(n)$ чередования, которые бегут в течение полиномиального времени.

Более глубокое понимание:

• Предложенный выше комментарием Каве, проблема может закодировать вычисления для $AltTime(\log(n), n)$ Машины Тьюринга.
• Кроме того, как указал Райан, проблема может закодировать вычисления для $NTimeSpace(2^{\log^2(n)}, \sqrt{n})$ Машины Тьюринга.

• В более общем плане, проблема может закодировать вычисления для машин, соответствующих различным классам вида $AltTimeSpace(a(n), t(n), s(n))$ with restricted witness lengths. I'm not quite sure what the exact relationship between $a(n)$, $t(n)$, and $s(n)$ has to be, but we know that:

  1. $\; \; a(n) \leq \log(n)$

  2. $\; \; t(n) \leq 2^{\log^2(n)}$

  3. $\; \; s(n) \leq n$

See my longer answer for more details on the trade-offs between $a(n)$, $t(n)$, and $s(n)$.

Note: In the above, when I say encode computations, I mean encode the computation without blowing up the instance size too much. That is, if we blow-up from $n$ size Turing machine input to $poly(n)$ size formula, then I think that although the blow-up is polynomial, it is good to pay close attention to the degree of the polynomial. The reason for the semi-fine-grained perspective is to try and slightly better recognize how the different complexity measures $a(n)$, $t(n)$, and $s(n)$ depend on each other.