Действительно ли PPAD отражает идею поиска другой несбалансированной вершины?

Класс сложности PPAD был изобретен Христосом Пападимитриу в его основополагающей статье 1994 года . Этот класс предназначен для охвата сложности задач поиска, когда существование решения гарантируется «аргументом четности в ориентированных графах»: если в ориентированном графе существует несбалансированная вершина, то должна существовать другая. Но обычно класс формально определяется в терминах $\mathsf{ANOTHER\ END\ OF\ THE\ LINE}$ ( $\mathsf{AEOL}$) проблема, когда аргумент применяется только к графам как с внутренним, так и с конечным градусами $\le 1$ . Мой вопрос: почему эти понятия эквивалентны?

До этого момента это дубликат этого вопроса . Теперь я хочу сформулировать проблему формально и уточнить, почему я не удовлетворен ответом там.

Задача поиска $\mathsf{ANOTHER\ UNBALANCED\ VERTEX}$ ( $\mathsf{AUV}$ ): нам даны две схемы $S$ и полиномиального размера, $P$которые получают $x\in\{0,1\}^n$ и возвращает полиномиальный список других элементов в $\{0,1\}^n$ . Эти схемы определяют ориентированный граф$G=(V,E)$ где$V=\{0,1\}^n$ и$(x,y)\in E\Leftrightarrow (y\in S(x)\land x\in P(y))$ . Задача поиска заключается в следующем: даны$S$ ,$P$ и$z\in V$ такие, что$indegree(z)\ne outdegree(z)$ , найти другую вершину с тем же свойством.

Задача поиска $\mathsf{AEOL}$ : то же самое, но и $S$ и $P$ возвращают либо пустой список, либо один элемент.

Понятие сводимости (корректируются в соответствии с предложением Рики): всего поиска проблема сводится к общей задаче поиска B с помощью полиномиальных функций F и г , если у является решение F ( х ) в задаче B предполагает г ( х , у ) является решение х в задаче А . $A$$B$$f$$g$$y$$f(x)$$B$$g(x,y)$$x$$A$

Формальный вопрос : почему $\mathsf{AUV}$ сводится к $\mathsf{AEOL}$ ? Или мы должны использовать другое понятие сводимости?

Христос Пападимитриу доказывает аналогичную теорему о PPA (теорема 1, стр. 505), но аргумент, похоже, не работает для PPAD . Причина заключается в том, что вершина со степенью баланса будет преобразована в K вершины со степенью балансом ± 1 . Тогда алгоритм для A E O L может получить одну из этих вершин и вернуть другую. Это не даст новую вершину для A U V .$\pm k$$k$$\pm1$$\mathsf{AEOL}$$\mathsf{AUV}$

Ситуация ухудшается, потому что в всегда есть четное количество несбалансированных вершин, но в A U V их может быть нечетное количество. Вот почему нельзя построить биекцию между этими двумя наборами, и g не всегда может быть равно f - 1 . Если g ( x , f ( x ) ) ≠ x, то мы получим метод решения A U V за полиномиальное время хотя бы для некоторых случаев. Если г не зависит от х и$\mathsf{AEOL}$$\mathsf{AUV}$$g$$f^{-1}$$g(x,f(x))\ne x$$\mathsf{AUV}$$g$$x$ для у 1 ≠ у 2 , то у 2 может быть возвращенакачестве ответа на у 1 . Это не былодать решение для A U V .$g(y_1)=g(y_2)$$y_1\ne y_2$$y_2$$y_1$$\mathsf{AUV}$

Последний вопрос : можно ли как-то преодолеть перечисленные выше препятствия? Можно ли использовать возможную зависимость от x ?$g$$x$

Было доказано, что проблемы эквивалентны (и, следовательно, PPAD-завершены), см. Раздел 8 в «Задаче о волосатом шаре - PPAD-Complete» Пола В. Голдберга и Александроса Холлендера .

Это интересный вопрос, и я могу дать только частичный ответ.

Нетрудно видеть, что конструкция на с. 505 из статьи Пападимитриу показывает эквивалентность AUV с его частным случаем

МНОГИЕ КОНЕЦ ЛИНИИ (MEOL): Для ориентированного графа с не более чем 1 градусом в градусах и градусах (представленными схемами, как указано выше) и непустым множеством X источников G , найдите сток или источник v. ∉ X .$G$$1$$X$$G$$v\notin X$

С одной стороны, мне трудно представить преобразование таких графов, которое могло бы сократить большее количество источников до одного.

Однако, с другой стороны, MEOL относится ко всем обычно изучаемым классам, содержащим PPAD, за исключением, возможно, самого PPAD :

Во-первых, очевидно,

MEOL находится в PPADS .

Ниже я приведу набросок

МЕОЛ в ППА

$G=(V,E)$$X$

$|X|$$X$$X$

$s=|X|$$2^k$$2$$s$$G'=(V',E')$$2^k$$V$$A,B\in V'$$(A,B)$$E'$$A=\{a_0,\dots,a_{2^k-1}\}$$B=\{b_0,\dots,b_{2^k-1}\}$$(a_i,b_i)\in E$$i<2^k$

$G'$$1$$A\in V'$$G$$A$$A\cap X\ne\varnothing$$1$

$A$$t=|A\cap X|$$0<t\le2^k$$t=2^k=|A|$$A\subseteq X$$\binom{s}{2^k}$$p$$\binom ab$$b+(a-b)=a$$p$$k$из этого следует, что нечетно. Более того, существуют биекции за полиномиальное время между и -элементными подмножествами . Используя это, мы можем определить соответствие полиномиальное время на всех , кроме одного из - элементных подмножеств . Мы включили его в график, который уменьшает количество известных источников с до .$\binom{s}{2^k}$$[0,\binom ab)$$b$$[0,a)$$2^k$$X$$t=2^k$$1$

Для формула подсчета переносов показывает, что является четным. Опять же , мы можем найти явное соответствие на - элементных подмножеств . Мы распространяем его на известные источники с , применяя сопоставление к и оставляя фиксированным.$0<t<2^k$ tXA| A∩X| =tA∩XA∖$\binom st$$t$$X$$A$$|A\cap X|=t$$A\cap X$$A\smallsetminus X$

Таким образом, мы создаем неориентированный граф с одной известной листовой вершиной. Мы запрашиваем у оракула PPA еще один лист, и по построению мы можем извлечь из него ответ для экземпляра MEOL .

Как кратко упомянул Пападимитриу, мы можем обобщить PPA на классы PPA - для любого простого числа . Пример полной проблемы PPA -р $p$$p$$p$

AUV - : для заданного ориентированного графа и вершины с балансом степени найдите другую такую ​​вершину.$p$$G$${}\not\equiv0\pmod p$

(См. Этот ответ для эквивалентности AUV - с определением PPA Пападимитриу - .)$p$$p$

ППА - это просто ППА . Предполагается, что классы PPA - попарно несопоставимы и несопоставимы с PPADS . Все они включают PPAD .$2$$p$

В аргументе, который я изложил выше, ничего особенного в , и его можно легко изменить, чтобы получить$p=2$

MEOL находится в PPA - для каждого простого .$p$$p$