Обратный граф Спектры Проблема?

Обычно каждый строит граф, а затем задает вопросы о разложении собственных значений матрицы смежности (или некоторого близкого родственника, такого как лапласиан ) (также называемого спектрами графа ).

Но как насчет обратной проблемы? Учитывая собственных значений, можно (эффективно) найти граф, который имеет эти спектры? $n$

Я подозреваю, что в целом это трудно сделать (и может быть эквивалентно GI), но что, если вы немного ослабите некоторые условия? Что если вы поставите условия, при которых не существует множества собственных значений? Как насчет разрешения графиков, которые имеют "близкие" спектры по некоторой метрике расстояния?

Любые ссылки или идеи будут приветствоваться.

РЕДАКТИРОВАТЬ :

Как указывает Суреш, если вы разрешаете неориентированные взвешенные графы с помощью собственных циклов, эта проблема становится довольно тривиальной. Я надеялся получить ответы на множестве неориентированных невзвешенных простых графов, но я был бы счастлив и простыми невзвешенными ориентированными графами.

— user834
источник

Я думаю, что вам может понадобиться изменить вопрос на «невзвешенные неориентированные графы без собственных циклов» или что-то в этом роде? Я могу представить, как построить диагональную матрицу с требуемыми собственными значениями и объявить ее несвязным графом с взвешенными автопетлями?

— Суреш Венкат

Еще более простой вопрос (я не знаю ответа) заключается в том, как построить простые связные графы, у которых даны первые несколько собственных значений

— Ярослав Булатов,

Альтернативный способ постановки вопроса (версия с простыми неориентированными графами) таков: учитывая n действительных чисел (в некотором формате), решить, существует ли n × n-симметричная матрица 0/1 с нулевыми диагоналями, так что ее собственные собственные значения являются данные числа.

— Цуёси Ито

@ Ярослав: Я не уверен, но эта проблема звучит для меня сложнее, чем в случае, когда даны все n собственных значений.

— Цуёси Ито

Крошечное наблюдение: если у нас нет ограничений на собственные значения, проблема действительно сложная (даже не включая алгоритмическую часть), поскольку это подразумевает (не) существование 57-регулярного графа Мура , все собственные значения которого известны.

— Сянь-Чжи Чанг 之之

Ответы:

Cvetcovic и др все в разделе 3.3 «Последние результаты в теории спектров графов» переходит алгоритмы для построения графов определенного спектра в некоторых особых случаях

— Ярослав Булатов
источник

Даже вопрос о том, существует ли граф с заданным спектром, является сложным вопросом. Об этом свидетельствует открытая проблема определения, существует ли график обхвата 5 диаметром 2 и порядка 3250, спектр которого (если он существует) известен.

— Jernej
источник

Еще одно препятствие в определении вашего вопроса состоит в том, что это изоспектральные (те же самые собственные значения), но неизоморфные графы. Итак, учитывая список собственных значений в таком случае, какой график вы хотите? Может быть, вы просто хотите, чтобы алгоритм возвращал один случайный элемент из множества таких неизоморфных графов?

— dabacon
источник

Я думал о чем-то вроде выборки из пространства графиков, которые изоспектральны, но кажется, что мы быстро спускаемся в эквивалентную проблему GI (таким образом, мой комментарий выше). Для простоты мы могли бы ограничить все различные собственные значения (которые, если IIC обеспечивает уникальный граф), но я действительно просто пытаюсь увидеть, что известно или там.

— user834 12.12.10

Я не думаю, что различные собственные значения обеспечивают восстанавливаемость, вот некоторые спектры изоспектральных графов на 7 узлах yaroslavvb.com/upload/save/cstheory-isospectral.png

— Ярослав Булатов

Мне нравится формулировка случайных элементов. Мне было бы интересно узнать, если это эквивалентно GI. Одной из причин, по которой меня интересует формулировка случайных элементов, является вопрос, поднятый в моей статье с Аророй и Стюрером об уникальных играх, о том, могут ли графики с определенным спектром быть расширителями для небольших множеств. Интуитивно можно надеяться, что случайный граф с этим спектром будет наилучшим возможным расширителем для всех размеров набора, и поэтому здесь может быть полезно понимание обратных спектров.

— Вооз Барак

@ Ярослав: Спасибо за эту ссылку и спасибо, что поправили меня!

— user834

@ user834: Re: ваш комментарий о проблеме, эквивалентной GI. Отметим, что определение изоморфизма графов с ограниченной кратностью собственных значений (в частности, графов без кратных собственных значений) может быть выполнено за полиномиальное время.

— Джошуа Грохов