Обычные языки и постоянная сложность общения

Пусть будет языком, и определим как тогда и только тогда, когда , Я ищу ссылку для: $L \subseteq A^*$ $f_L\colon A^* \times A^* \to \{0, 1\}$ $f_L(x, y) = 1$ $x\cdot y \in L$

Предложение. является регулярным, если детерминированная коммуникационная сложность постоянна. $L$ $f_L$

Другими словами, является регулярным, если существует протокол для двух игроков для такой, что функция ограничен константой, где имеет число бит , обменивается Алисой и Бобом когда Алиса получает и Боб , в соответствии с протоколом . $L$ $P$ $f_L$

n \mapsto max {comm (P, x, y) : | x \cdot y | = n}

$n \mapsto \max\{\text{comm}(P, x, y) : |x\cdot y| = n\}$

comm (P, x, y)

$\text{comm}(P, x, y)$

x

$x$

y

$y$

P

$P$

Единственное место, которое я смог найти, - это диссертация Джорджа Хаузера в 1989 году, доступная здесь , где он также обобщает это для других распределений входных данных $x\cdot y$ среди Алисы и Боба, так что число «сокращений» является постоянным.

reference-request communication-complexity regular-language

— Михаэль Кадилхак
источник

Возьмем нерегулярный язык

C

$C$ и определим

L = {c \circ r : c \in C, r \in {0, 1}^{| c |}}

$L = \{c \circ r : c \in C, r \in \{0,1\}^{|c|} \}$ . Тогда

L

$L$ имеет сложность связи

O (1)

$O(1)$ , но она, конечно, не является регулярной. Что мне не хватает?

— Игорь Шинкарь

@IgorShinkar: Я не уверен, что получил именно то, что вы там написали, но вы, похоже, намекаете на классическое доказательство того, что каждый язык с одним словом в длину может быть преобразован в язык с постоянной сложностью общения. Однако это предполагает, что Алиса и Боб получают ровно половину тестируемого слова; здесь нет такого предположения, и, с точки зрения соперничества, они должны решить проблему с учетом любого разделения входных данных. Это отвечает на ваш вопрос?

— Михаэль Кадилхак

А ну понятно. Так что если для любого разбиения CC постоянна, то регулярна.

L

$L$

— Игорь Шинкарь

Для вас есть «Коммуникационная сложность», Eyal Kushilevitz in Advances in Computers, том 44, 1997 ( http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0065245808603423 ). $\Rightarrow$

Вы также можете найти раздел «Сложность связи и иерархия Хомского» в книге Юрия Хромковича «Сложность связи и параллельные вычисления», где она доказана. Может быть, также доказано где-то в книге, но я не могу найти его здесь. Кажется, самое близкое - это упражнение 5.2.5.2, но это всего лишь упражнение (см. Также всю главу 5, в которой подробно изучается конечный автомат, но я не думаю, что он явно отвечает на ваш вопрос). $\Leftarrow$

Что бы это ни стоило, доказательство обоих направлений выглядит легко, поэтому я думаю, что если вам нужно это в статье, вы можете быстро набросать его: для , возьмите конечный автомат для и заметьте, что Алисе достаточно сообщить состояние, которого она достигает после прочтения ее части ввода. Затем Боб заканчивает моделирование в автоматах. Для , если у вас есть протокол, ограниченный константой, то имеет конечное число частных что является хорошо известной характеристикой регулярных языков , $\Rightarrow$ $L$ $\Leftarrow$ $L$ $w^{-1}L = \{u : wu \in L\}$

— holf
источник

Большое спасибо за ваш вклад. Я согласен, что это легкий и естественный результат, и, вероятно, его следует считать фольклором. Я на самом деле знаю две ссылки, которые вы даете довольно хорошо, и, так же, как вы, не могли найти там протокол, который я рассматриваю выше. Поскольку этот вопрос является «запросом-рекомендацией», я боюсь, что не могу принять ваш ответ на данный момент.

— Михаэль Кадилхак

Я знаю, но это было слишком долго для комментария, и я думаю, что все еще стоит упомянуть, что по крайней мере один способ явно доказан в литературе. Я дам вам знать, если я наткнусь на доказательство!

— Holf

Очень ценится! :-)

— Михаэль Кадилхак