Обобщение теоремы Дилворта для помеченных DAG

Антицепь в DAG представляет собой подмножество вершин, попарно недостижим, а именно, нет таким образом, что достижима из в . Из теоремы Дилворта в теории частичного порядка известно, что если DAG не имеет антицепи размера , то она может быть разложена в объединение не более чем непересекающихся цепочек, т. Е. Направленных путей. $(V, E)$ $A \subseteq V$ $v \neq v' \in A$ $v$ $v'$ $E$ $k \in \mathbb{N}$ $k-1$

$v$ $\lambda(v)$ $\Sigma$ $A \subseteq V$ $\Sigma$ $A$ $\min_{a \in \Sigma} |\{v \in A \mid \lambda(v) = a\}|$ $k \in \mathbb{N}$ Что я могу предположить о его структуре? Могу ли я разложить его каким-то особым образом? Я уже озадачен случаем , но также заинтересован в случае общего конечного множества меток. $\Sigma = \{a, b\}$

Чтобы визуализировать это для , сказать, что не имеет антицепи с помеченным размером означает, что нет антицепи, содержащей по крайней мере вершин, помеченных и вершин, помеченных ; может быть сколь угодно большим антицепи , но они должны содержать только элементы или только элементов, вплоть до исключений в большинстве. Кажется, что запрещение больших антицепей должно обеспечить, что DAG по существу «чередуется» между частями большой ширины для вершин меткой и большой шириной для $\Sigma = \{a, b\}$ $G$ $k$ $k$ $a$ $k$ $b$ $a$ $b$ $k-1$ $a$ $b$ вершины, но я не смог формализовать эту интуицию. (Конечно, подходящая структурная характеристика должна говорить о метках вершин в дополнение к форме DAG, потому что уже для и на условие удовлетворяется совершенно произвольными DAG, когда все вершины имеют одинаковую метку.) $k \geq 1$ $\{a, b\}$

— a3nm
источник

@Saeed, нет, это не работает. Ваша путаница возникает из-за того, что если буква не появляется в антицепи, то ее размер помечается как . Возьмем, например, полный двудольный граф G = (A, B, E), каждое ребро которого ориентировано из A в B. Обозначим каждую вершину A с помощью и каждую вершину B с помощью . Тогда каждая антицепь имеет не более одного цвета и поэтому имеет размер , но вы не можете покрыть ее непересекающимися цепями. То же самое с DAG , что помеченной с только.

0

$0$

a

$a$

b

$b$

0

$0$

m (k - 1)

$m(k-1)$

a

$a$

— Holf

@ Холф, верно, я думал, что мы пересчитываем ярлыки, где они появляются в антицепи, я не заметил, как мин проходит все элементы сигмы. Я думаю, что это немного странное определение.

— Саид

@Saeed: Дело в том, чтобы запретить антицепи с большим разнообразием символов. Интуиция для этого заключается в том, что мы изучаем сложность проблемы с DAG, которая становится тривиальной, когда у вас есть такие большие антицепи (достаточно много случаев несопоставимых символов). Чтобы показать общую управляемость, нам просто нужно разобраться со случаем групп доступности базы данных, где этот шаблон не встречается, поэтому мы хотим выяснить, как такие группы доступности базы данных могут быть разложены для разработки алгоритма отслеживания для них. (Например, в

— немаркированном

С Чарльзом Паперменом мы смогли получить такой результат для ГПДР, помеченных алфавитом . По сути, мы можем показать, что с учетом DAG который имеет большие антицепи из меченых элементов, большие антицепи из меченых элементов, но нет больших антицепей, содержащих как много элементов с меченым, так и меченым, то происходит разложение как раздел , где: $\{a, b\}$ $G$ $a$ $b$ $a$ $b$ $G$ $L_1, \ldots, L_n$

раздел - это то, что мы называем «наслоением», то есть:
- каждый является выпуклым множеством, т. е. если и то $L_i$ $x, y \in L_i$ $x \leq z \leq y$ $z \in L_i$
- для всех нет и таких что $i < j$ $x \in L_i$ $y \in L_j$ $y \leq x$
для любой антицепи группы существует такое , что «почти содержится» в , т. е.меньше константы $A$ $G$ $i$ $A$ $L_i$ $|A \setminus L_i|$
для каждого верно одно из следующего:
- $L_i$ содержит большое антицепь меченные элементы и не содержит большую антицепи меченных элементов $a$ $b$
- $L_i$ содержит большую антицепь из меченых элементов, но не содержит большую антицепь из меченых элементов $b$ $a$

Кроме того, такой раздел может быть вычислен в PTIME.

Я разместил наше текущее доказательство онлайн . Это очень грубо и, по сути, не корректируется, потому что мы пока не используем результат, но я все же подумал, что было бы уместнее добавить ответ на этот вопрос теории CS с нашим текущим прогрессом. Не стесняйтесь связаться со мной, если вы заинтересованы в результате, но не можете понять доказательства.

— a3nm
источник