Относительная согласованность PA и некоторые теории типов

Для теории типов под последовательностью я подразумеваю, что у нее есть тип, который не заселен. Из сильной нормализации лямбда-куба следует, что система $F$ и система $F_\omega$ согласованы. MLTT + индуктивные типы также имеют доказательство нормализации. Однако все они должны быть достаточно мощными, чтобы построить модель PA, которая доказывает, что PA согласуется с этими теориями. Система $F$ является достаточно мощным , поэтому я ожидаю , что это будет в состоянии доказать непротиворечивость PA путем построения модели с использованием Чёрча. MLTT + IT имеет индуктивный тип с натуральными числами и должен также обеспечивать последовательность.

Все это подразумевает, что доказательства нормализации для этих теорий не могут быть усвоены в PA. Так:

Могут ли система , система и MLTT + IT на самом деле доказать согласованность PA? $F$ $F_\omega$
Если они могут, то какая метатеория необходима для доказательства нормализации для систем , и MLTT + IT? $F$ $F_\omega$
Есть ли хороший справочник для теории доказательств теорий типов в целом или для некоторых из этих теорий типов в частности?

type-theory proof-theory

— fhyve
источник

В системе F вы не получите принцип индукции для своих церковных цифр, поэтому они не соответствуют уравнениям.

— Галлей

Краткий ответ на ваш вопрос 1 - нет , но, возможно, по незаметным причинам.

Прежде всего, система и не может выразить теорию первого порядка арифметики , и даже меньше , консистенция . $F$ $F_\omega$ $\mathrm{PA}$

Во-вторых, и это действительно удивительно, действительно может доказать согласованность обеих этих систем! Это делается с использованием так называемой не относящейся к доказательству модели , которая интерпретирует типы как множества , где - некоторый фиктивный элемент, представляющий обитателя непустого типа. Тогда можно записать простые правила эксплуатации и на таких типах довольно легко получить модель для системы , в которой тип интерпретируется как $\mathrm{PA}$ $\in\{\varnothing,\{\bullet\}\}$ $\bullet$ $\rightarrow$ $\forall$ $F$ $\forall X.X$ $\varnothing$ , Можно сделать то же самое для , немного более осторожно интерпретируя более высокие виды как пространства конечных функций. $F_\omega$

Здесь есть очевидный парадокс, когда может доказать согласованность этих, казалось бы, мощных систем, но не (как я сейчас покажу) нормализацию. $\mathrm{PA}$

Недостающий ингредиент здесь - реализуемость . Реализуемость - это способ заставить определенные программы соответствовать определенным предложениям, обычно в арифметике. Я не буду вдаваться в подробности, но если программа реализует предложение , записанное как , то у нас есть определенное доказательство для , в частности, если нормализует, то . У нас есть: $p$ $\phi$ $p\Vdash \phi$ $\phi$ $p$ $p\not\Vdash\bot$

Теорема: если - теорема арифметики го порядка , то существует некоторый замкнутый член системы такой что $\phi$ $\mathrm{PA}_2$ $t$ $F$
$t ⊩ ϕ$ $t\Vdash\phi$

Эта теорема может быть доказана в , и поэтому и аргумент Геделя применим (и не может доказать нормализацию системы ). Полезно отметить , что обратная импликация, так что мы имеем точную характеристику доказательства теоретико-мощность , необходимая для доказательства нормализации системы . $\mathrm{PA}$

P A ⊢ F is normalizing \Rightarrow {P A}_{2} is consistent

$\mathrm{PA}\vdash F\mbox{ is normalizing}\Rightarrow\mbox{$\mathrm{PA}_2$ is consistent}$

P A

$\mathrm{PA}$

F

$F$

F

$F$

Аналогичная история существует для системы , которая, как мне кажется, соответствует более высокой арифметике . $F_\omega$ $\mathrm{PA}_\omega$

Наконец, у нас есть сложный случай MLTT с индуктивными типами. Здесь снова возникает несколько тонкая проблема. Конечно, здесь мы можем выразить непротиворечивость , так что это не проблема, и нет никакой не относящейся к доказательству модели, поскольку мы можем доказать, что тип имеет по крайней мере 2 элемента (бесконечное количество различных элементов , на самом деле). $\mathrm{PA}$ $\mathrm{Nat}$

Однако мы сталкиваемся с удивительным фактом интуиционистских теорий высшего порядка: , версия Гейтинга арифметики высшего порядка консервативна над $\mathrm{HA}_\omega$ $\mathrm{HA}$ ! В частности, мы не можем доказать согласованность (что эквивалентно согласованности ). Интуитивная причина этого заключается в том, что интуитивистские функциональные пространства не позволяют количественно определять произвольное подмножество , поскольку все определяемые функции должны быть вычислимыми. $\mathrm{PA}$ $\mathrm{HA}$ $\mathbb{N}$ $\mathbb{N}\rightarrow \mathbb{N}$

В частности, я не думаю, что вы можете доказать непротиворечивость если добавляете в MLTT только натуральные числа без юниверсов. Я верю, что добавление вселенных или «более сильных» индуктивных типов (например, порядковых типов) даст вам достаточно силы, но, боюсь, у меня нет ссылок на это. С вселенными, аргумент кажется довольно простым , хотя, так как у вас есть достаточно теории множеств построить модель . $\mathrm{PA}$ $\mathrm{HA}$

Наконец, ссылки на теорию доказательств систем типов: здесь, на мой взгляд, действительно есть пробел в литературе, и я бы с удовольствием отнесся ко всем этим предметам (на самом деле, я мечтаю написать это сам когда-нибудь!). В это время:

Не относящаяся к доказательству модель объясняется здесь Микелом и Вернером, хотя они делают это для исчисления конструкций, что несколько усложняет ситуацию.
Аргумент реализуемости изложен в классических Доказательствах и Типах Жирара, Тейлора и Лафона. Я думаю, что они также рисуют не относящуюся к доказательству модель и много полезных вещей помимо этого. Вероятно, это первая ссылка для чтения.
Аргумент консервативности гейтинговой арифметики высшего порядка можно найти в неуловимом втором томе « Конструктивизма в математике » Троельстры и ван Далена (см. Здесь ). Оба тома чрезвычайно информативны, но довольно сложны для чтения новичку, ИМХО. Это также несколько избегает «современных» предметов теории типов, что неудивительно, учитывая возраст книг.

Дополнительный вопрос в комментариях был о точной силе согласованности / силе нормализации MLTT + Индуктивы. У меня нет точного ответа здесь, но, конечно, ответ зависит от количества вселенных и природы разрешенных индуктивных семейств. Ратхен исследует этот вопрос в превосходной статье «Сила некоторых теорий типа Мартина-Лофа» .

$\cal{T}$ $\cal{U}$

P A ⊢ C o n (T) \Rightarrow C o n (U)

$\mathrm{PA}\vdash\mathrm{Con}(\cal{T})\Rightarrow\mathrm{Con}(\cal{U})$

тогда вообще

P A ⊢ 1- C o n (T) \Rightarrow N o r m (U)

$\mathrm{PA}\vdash \mbox{1-$\mathrm{Con}$}(\cal{T})\Rightarrow\mathrm{Norm}(\cal{U})$

$\mathrm{Con}$ $\mathrm{Norm}$

$\mathrm{HA}_\omega$

Что касается MLTT с индукцией-рекурсией или индукцией-индукцией, я не знаю, какова ситуация, и AFAIK, проблема точной прочности согласованности все еще остается открытой.

— Коди
источник

ϵ_{0}

$\epsilon_0$

И следует ли читать "если

p

$p$ нормализуется, то

p ⊮ \emptyset

$p\not\Vdash\emptyset$ ?

— Fhyve

Почему вы имеете в виду "в

{H A}_{ω}

$\mathrm{HA}_\omega$ все функции должны быть вычислимы »? Конечно, нет, рассмотрим теоретико-множественную модель.

— Андрей Бауэр

@AndrejBauer конечно, все функции

N \to N

$\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$ которые могут быть доказаны в

{H A}_{ω}

$\mathrm{HA}_\omega$ вычислимы («снаружи»). Конечно, изнутри можно предположить, что существуют невычислимые функции, если только не добавляются дополнительные забавные аксиомы.

— Коди

Тогда вы должны были сказать что-то вроде «определяемых функций в

{H A}_{ω}

$\mathrm{HA}_\omega$ вычислимы ". Говоря" должно быть вычислимо ", по крайней мере, вводит в заблуждение.

— Андрей Бауэр