Сопоставление с шаблоном пофиг: несколько шаблонов

Двухстраничная статья Kalai SODA предлагает простой и эффективный алгоритм для сопоставления с шаблоном без разницы (подстановочные знаки, которые соответствуют одному символу). По сути, это так же просто, как свертка.

Но что произойдет, если мы ищем несколько паттернов, не заботясь о них? Можем ли мы еще как-нибудь решить это, например, с помощью методов FFT?

Для случая множественного шаблона, кажется, что простое сканирование для каждого из них могло бы быть наилучшим возможным решением, по крайней мере, если гипотеза сильного экспоненциального времени не верна.

Напомним, что данные наборы $S_1, S_2, \dotsc, S_n$ а также $T_1, T_2, \dotsc, T_n$ над вселенной $[m]$, если бы мы могли решить, есть ли $S_i$ а также $T_j$ такой, что $S_i \cup T_j = [m]$ во время $O(n^{2-\varepsilon}\operatorname{poly}(m))$, тогда SETH терпит неудачу, то есть у нас есть алгоритм CNF-SAT со временем выполнения $O^*\bigl(2^{(1-\varepsilon/2)n}\bigr)$,

Данные наборы $S_1, S_2, \dotsc, S_n$ а также $T_1, T_2, \dotsc, T_n$, мы кодируем вышеупомянутую проблему как сопоставление с несколькими шаблонами и не заботимся о двоичном алфавите следующим образом:

• Текст $$1[T_1]10^{m+2}1[T_2]10^{m+2}\dots0^{m+2}1[T_n]1\,,$$ где $[T_i]$ это естественная кодировка $T_i$ в виде двоичной строки.
• У нас есть $n$ шаблоны формы $1\langle S_i \rangle 1$, где $\langle S_i \rangle$ это строка $y = y_1y_2\dots y_m$ такой, что $y_j = 1$ если $j \notin S_i$ а также $y_j = *$ если $j \in S_i$ (Вот $*$ это символ пофиг).

Теперь ясно, что шаблон $1\langle S_i \rangle 1$ может соответствовать тексту при появлении $1[T_j]1$и только когда $S_i \cup T_j = [m]$, Общая длина шаблонов и длина текста оба$O(nm)$Например, почти линейный однопроходный алгоритм для нескольких шаблонов дал бы существенные улучшения по сравнению с наиболее известными алгоритмами CNF-SAT ...

(Обратите внимание, что это ничего не говорит об алгоритмах, которые используют много времени для предварительной обработки шаблонов, скажем, квадратичных по общей длине шаблонов.)