Сложность матричной задачи

Следующая проблема недавно появилась в моем исследовании. Будучи не специалистом по алгоритмическим вопросам, я активно гуглил в поисках подходящих проблем, с которых можно было бы справиться. Я не понимаю, как будет работать 3SAT, и хотя ZOE схожи по духу, сокращение не очевидно. Другой возможностью была бы экзистенциальная теория реальностей. Это тоже не совсем подходит, но я могу ошибаться.

Проблема: и являются -матрицами над вашим любимым полем. Мы предполагаем, что произвольный набор индексов установлен на 0. Аналогично, произвольный набор индексов установлен на 0. Вопрос: можем ли мы заполнить оставшиеся индексы и такими, что ? $A$ $B$ $n\times n$ $A$ $B$ $A$ $B$ $AB = I_n$

Пример: , . Невозможно. $A = \begin{bmatrix} 0 & a_1 \\ a_2 & 0 \end{bmatrix}$ $B = \begin{bmatrix} b_1 & 0 \\ 0 & b_2 \end{bmatrix}$

Какова вычислительная сложность этого (в )? $n$

Будем весьма благодарны за любые подсказки или идеи о том, где искать подобные результаты в литературе.

РЕДАКТИРОВАТЬ (полностью забыл об этом посте): В недавней работе, которая доступна на arXiv (если кто-то заинтересован в препринте, дайте мне знать), мы показали, что проблема NP-трудна для любого конечного поля.

cc.complexity-theory

— мегабайт
источник

При условии, что базовое поле достаточно велико, проблема проверки того, можно ли сделать

обратимой, сводится к (дополнению) полиномиальному тестированию идентичности. Просто обратите внимание, что определитель

является полиномом в значениях пропущенных записей.

A B

$AB$

A B

$AB$

— Эндрю Морган

Кроме того, случай, когда мы ограничиваем элементы

равными нулю, а характеристика поля больше

, сводится к двустороннему идеальному сопоставлению. Вы можете представить выбор для каждого индекса

другого индекса

чтобы установить

и оставшиеся записи равными нулю. (Помещение большего числа единиц может только повредить.) Тогда условие

можно выразить в виде двудольного графа с индексами

A

$A$

B

$B$

n

$n$

i

$i$

k_{i}

$k_i$

A_{i, k_{i}} = B_{k_{i}, i} = 1

$A_{i,k_i} = B_{k_i,i} = 1$

A B = I_{n}

$AB = I_n$

i

$i$ слева выбор

справа и рёбра для

пар, для которых мы можем установить

k_{i}

$k_i$

(i, k_{i})

$(i,k_i)$

A_{i, k_{i}}

$A_{i,k_i}$

B_{k_{i}, i}

$B_{k_i,i}$

— Эндрю Морган

@MB: Также обратите внимание, что проверка того, можно ли сделать

обратимой, аналогична проверке того, можно ли сделать

отдельности обратимой, проверка того, можно ли сделать

обратимой, - не то же самое, что проверка

можно сделать личность . Для проверки того, можно ли сделать

(соответственно

) обратимым, вы говорите «это можно сделать эффективно», но в ваших настройках это эквивалентно проверке на идеальное соответствие между поддержкой

(соответственно

A B

$AB$

A

$A$

B

$B$

A B

$AB$

A B

$AB$

A

$A$

B

$B$

A

$A$

B

$B$ ) (та же проблема, но немного отличающаяся от второго комментария Эндрю Моргана).

— Джошуа Грохоу

Некоторые особые случаи этой проблемы, по-видимому, встречаются в PPAD, например, проблема линейной комплементарности: kintali.wordpress.com/2009/08/04/linear-complementarity-prob‌ lem. Это может показать, что найти решение сложно.

— Домоторп

В случае, если другие еще не поняли это, есть выбор

(по любому полю), для которого

, но для которого тест на идеальное совпадение не проходит. т.е. не существует матрица перестановок

, так что

поддерживается на носителе

, а

поддерживается на поддержку

. Выбор дается

A, B

$A,B$

A B = I

$AB = I$

P

$P$

P

$P$

A

$A$

P^{- 1} = P^{⊺}

$P^{-1}=P^{\intercal}$

B

$B$

A = [\begin{matrix} 1 & - 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & - 1 & 1 \end{matrix}]

$A=\begin{bmatrix}1&-1&0\\1&0&1\\1&-1&1\end{bmatrix}$

B = [\begin{matrix} 1 & 1 & - 1 \\ 0 & 1 & - 1 \\ - 1 & 0 & 1 \end{matrix}]

$B=\begin{bmatrix}1&1&-1\\0&1&-1\\-1&0&1\end{bmatrix}$

— Эндрю Морган

Ну, вот не-ужасна верхней границы над : , или предполагая гипотезу Римана, . Это связано с тем, что для любых заданных шаблонов нулей для проверка того, можно ли сделать , проверяет, имеет ли определенная система из целочисленных полиномиальных уравнений решение в , и это можно сделать в этих верхних по Койрану. $\mathbb{C}$ $\mathsf{PSPACE}$ $\mathsf{AM}$ $A,B$ $AB=I_n$ $n^2$ $\mathbb{C}$

Другой подход состоит в том, чтобы попытаться использовать тот факт, что на самом деле это система билинейных уравнений. Решение билинейных уравнений эквивалентно поиску решений ранга 1 для линейных уравнений. Я пытался определить, существуют ли лучшие верхние границы для решения билинейных систем в целом, но пока безуспешно. Также возможно, что можно использовать конкретную структуру этих билинейных уравнений, чтобы получить что-то лучше, чем то, что известно в общем ...

— Джошуа Грохов
источник

Разве PSPACE не следует из проблемы, связанной с NP?

— MB

@MB: проблема с конечными полями, очевидно, связана с NP (просто покажите установку переменных), которая является лучшей верхней границей, чем даже AM. Когда входные данные являются целочисленными полиномами, но вы запрашиваете решение в комплексных числах, когда есть решение, даже не очевидно, что вы можете записать его в любой конечный объем памяти, не говоря уже о полиномиально ограниченных.

— Джошуа Грохов