Состояние ПП-полноты MAJ3SAT

КРАТКИЙ ВОПРОС: Является ли MAJ-3CNF PP-полной проблемой при сокращении многие-один?

ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ВЕРСИЯ: Общеизвестно, что MAJSAT (решающий, удовлетворяет ли большинство назначений пропозиционального предложения) PP-завершено при сокращениях много-один, а #SAT # P-завершено при сокращениях. Также очевидно, что # 3CNF (то есть #SAT, ограниченный формулами 3-CNF) является # P-полным, поскольку сокращение Кука-Левина экономно и дает 3-CNF (это сокращение фактически используется в книге Пападимитриу для покажите # P-полноту #SAT).

Похоже, что аналогичный аргумент должен доказать, что MAJ-3CNF является PP-полным при сокращениях много-один (MAJ-kCNF - это MAJSAT, ограниченный формулами kCNF; то есть каждое предложение имеет k литералов).

Тем не менее, в презентации Бэйли, Далмау и Колайтиса «Фазовые переходы ПП-полных проблем удовлетворенности» авторы отмечают, что «MAJ3SAT, как известно, не является ПП-полным» (презентация на https: //users.soe.ucsc .edu / ~ kolaitis / talk / ppphase4.ppt ). Это предложение, по-видимому, не фигурирует в их соответствующих документах, только в их презентациях.

Вопросы: Может ли доказательство того, что # 3CNF является # P-полным, действительно быть адаптировано для доказательства того, что MAJ3CNF является PP-полным? Учитывая заявление Бэйли и др., Кажется, нет; если доказательство не содержит, то: Есть ли доказательство того, что MAJ-3CNF является PP-полным? Если нет, есть ли какая-то интуиция относительно разницы между PP и #P в отношении этого результата?

SHORT ОТВЕТ:
Это неизвестно , будет ли является -полной проблемы при многих-один сокращениях.P $\mathsf{MAJ3CNF}$$\mathsf{PP}$

ПОЛНЫЙ ОТВЕТ:
Прежде всего, вы обращаетесь к Бэйли, Далмау и Колайтису и их работе над «$\mathsf{PP}$ Фазовыми переходами -полных проблем удовлетворенности» в вашем вопросе. Позвольте мне процитировать их:

'Стоит также отметить, что, хотя является -полным, неизвестно, существует ли целое число , такое что is -complete. 'P P k ≥ 3 M A J O R I T Y K S A T P $\mathsf{MAJORITY \ SAT}$$\mathsf{PP}$$k \geq 3$$\mathsf{MAJORITY}$ $\mathsf{kSAT}$$\mathsf{PP}$

[ http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0166218X06004665 ]

Это действительно правильно, что сокращение Кука-Левина является экономным и производит 3CNF из данного CNF. Поскольку является -полным, из этого сразу следует, что также является -полным при экономном сокращении. Однако, как уже указывалось в комментарии, экономные сокращения не сохраняют большинство. Эти сокращения вводят вспомогательные переменные, чтобы уменьшить размер предложений, но, в свою очередь, эти вспомогательные переменные увеличивают общее количество назначений. Например, рассмотрим 4CNF, который состоит из одного предложения:# P # 3 C N F # $\mathsf{\#CNF}$$\mathsf{\#P}$$\mathsf{\#3CNF}$$\mathsf{\#P}$

$\phi = (x_1 \vee x_2 \vee x_3 \vee x_4)$

который превращается в

$\phi'=(x_1 \vee x_2 \vee y) \wedge (y \leftrightarrow (x_3 \vee x_4))$

используя вспомогательную переменную и, наконец, 3CNF$y$

$\psi= (x_1 \vee x_2 \vee y) \wedge (\neg y \vee x_3 \vee x_4) \wedge (y \vee \neg x_3 ) \wedge (y \vee \neg x_4).$

Это преобразование четко сохраняет количество моделей, но легко видеть, что большинство не сохраняется. имеет 15 удовлетворяющих назначений из 16 назначений, тогда как имеет 15 удовлетворяющих назначений из 32 назначений. В первом случае удовлетворенность большинства сохраняется, тогда как во втором удовлетворенность большинства не выполняется.$\phi$$\psi$

Следовательно, НЕТ, доказательство того, что # 3CNF является -полным, нельзя адаптировать для доказательства того, что является -полным? Остается открытым ли является -полной проблемы при многих-один сокращениях.$\mathsf{\#P}$$\mathsf{MAJ3CNF}$$\mathsf{PP}$$\mathsf{MAJ3CNF}$$\mathsf{PP}$

# P P P # 3 C N F D # 3 C N F ϕ m ≥ 0 ϕ m D # 3 C N F D # 3 C N F P P M A J 3 C N F D # 3 C N $\mathsf{MAJ3CNF}$ не дает большого понимания различия между и . На самом деле вариант принятия решения , скажем, , определяется следующим образом: учитывая CNF и число , решите, имеет ли хотя бы удовлетворяющих задания. Обратите внимание, что для нас не волнует большинство. Таким образом, мы можем преобразовать любой CNF в 3CNF, используя экономное сокращение, которое доказывает, что является -полным при сокращении многие-один.$\mathsf{\#P}$$\mathsf{PP}$$\mathsf{\#3CNF}$$\mathsf{D\#3CNF}$$\phi$$m \geq 0$$\phi$$m$$\mathsf{D\#3CNF}$$\mathsf{D\#3CNF}$$\mathsf{PP}$$\mathsf{MAJ3CNF}$ - это просто другая проблема, чем .$\mathsf{D\#3CNF}$