Поддержание значения многочлена над динамически обновляемым вводом

10

Пусть - многочлен над фиксированным конечным полем. Предположим, что нам задано значение для некоторого вектора и вектора . $P(x_1, x_2, \ldots, x_n)$ $P$ $y \in \{0,1\}^n$ $y$

Теперь мы хотим вычислить значение на вектор такая , что и отличаются по точности одной позиции (другими словами, мы переворачивать ровно один бит в ). Каковы пространство и время компромиссов для этой проблемы? $P$ $y' \in \{0,1\}^n$ $y$ $y'$ $y$

Например, если это число одночленов в , мы можем хранить коэффициенты и значения всех мономов . Если перевернуто, мы фиксируем значение каждого монома, содержащего а затем значение используя сохраненную информацию. В общем, нам нужно время и пространство. $r$ $P$ $P$ $y_i$ $y_i$ $P(y)$ $O(r)$

(Я ничего не говорю о том, как мы идентифицируем мономы, содержащие для цели. Вы можете выбрать любое разумное представление , в примере, который я предполагаю, что мы храним список мономов, содержащих для каждого .) $y_i$ $P$ $y_i$ $i$

есть что-нибудь получше?

polynomials dynamic-algorithms

— Татьяна Стариковская
источник

7

Ваша идея обобщается следующим образом: с учетом алгебраической схемы (над конечным полем) или логической схемы (вычисление побитового представления ваших элементов конечного поля) вычисляя , затем сохраняйте значение в каждом элементе схемы. Когда вы меняете бит , просто распространяйте это изменение по DAG схемы, начиная со входа . Если схема имеет размер , это занимает время и пространство. Это может быть намного меньше, чем количество мономов (что соответствует размеру алгебраических схем глубиной только 2). $P$ $i$ $y$ $y_i$ $s$ $O(s)$

— Джошуа Грохов
источник

1

Я не уверен, было ли это намеренно, но проблема не в том, что мы дали

, просто

.

y

$y$

f (y)

$f(y)$

— Эндрю Морган

1

@AndrewMorgan Зависит от вашего приложения, для меня это нормально предположить, что у дано. Спасибо за комментарий!

— Татьяна Стариковская

2

y

$y$

y

$y$

5

Легко изменить подход хранения мономов, чтобы каждое обновление занимало время, пропорциональное количеству измененных мономов: просто обновите общее значение полинома, добавив новое значение и вычтя старое значение для каждого измененного монома.

$P$ $P$ $k$ $O(k\log N)$ $N$

— Дэвид Эппштейн
источник