мотивация

На днях я путешествовал по городу на общественном транспорте и составил интересную графическую задачу, моделирующую проблему поиска кратчайшей связи между двумя местами.

Нам всем известна классическая «задача кратчайшего пути»: ориентированный граф с длинами и двумя вершинами , найдите кратчайший путь между и (т. е. путь, минимизирующий общую длину ребра). Предполагая неотрицательные длины ребер, существуют различные алгоритмы, и проблема проста.w e ∈ R + 0$G=(V,E)$s , t ∈ V s $w_e\in\mathbb{R}_0^+,\,e\in E$$s,t\in V$$s$$t$

Это хорошая модель для случая, когда мы идем, например. Вершины являются перекрестком в нашей сети дорог, и каждый край имеет фиксированную длину - например, в метрах. Другая возможная интерпретация весов - это время, которое требуется нам, чтобы перейти от одной из его вершин к другой. Это интерпретация, которая меня интересует сейчас.$w_e$

проблема

Теперь я хочу смоделировать следующую ситуацию. Я хочу путешествовать из пункта А в пункт Б в городе на общественном транспорте и минимизировать время . Сеть общественного транспорта может быть легко смоделирована как ориентированный граф, как и следовало ожидать. Интересной частью являются граничные веса (это время модели) - общественный транспорт (например, автобусы) отправляется только через определенные интервалы, которые различны для каждой остановки (вершина на графике). Другими словами - веса ребер не постоянны, они меняются в зависимости от времени, когда мы хотим использовать ребро.

Как смоделировать эту ситуацию: у нас есть ориентированный граф и функция веса ребер которая принимает время в качестве аргумента и возвращает время , необходимое для использования ребра на нашем пути. Например, если шина от вершины до вершины уходит в момент времени и это занимает раз, а мы достигаем вершины в момент времени , то - это вес ребра. Ясно, что .w : E × R + 0 → R + $G=(V,E)$ $w\colon E\times \mathbb{R}_0^+\rightarrow\mathbb{R}_0^+$u t = 10 5 v t = 8 w ( v u , 8 ) = 7 w ( v u , 10 ) = $v$$u$$t=10$$5$$v$$t=8$$w(vu,8)=7$$w(vu,10)=5$

Определить общий вес пути немного сложно, но мы можем сделать это рекурсивно. Пусть - направленный путь. Если то . В противном случае , где - без . Это естественное определение, соответствующее реальной ситуации. k = 1 w ( P ) $P=v_1v_2\ldots v_{k-1} v_k$$k=1$w ( P ) = w ( P ′ ) + w ( v k - 1 v k , w ( P ′ ) ) P ′ P v $w(P)=0$$w(P)=w(P')+w(v_{k-1}v_k,w(P'))$$P'$$P$$v_k$

Теперь мы можем изучить эту проблему при различных предположениях о функции . Естественным предположением является которое моделирует «ожидание time».w ( e , t ) ≤ w ( e , t + Δ ) + Δ  для всех  e ∈ E , Δ ≥ 0 , $w$

Если функция «ведет себя хорошо», возможно, можно свести эту проблему к классической проблеме кратчайшего пути. Но мы могли бы спросить, что происходит, когда весовые функции становятся дикими. А что если мы отбросим предположение об ожидании?

Вопросов

Мои вопросы следующие.

• Обсуждалась ли эта проблема раньше? Это кажется естественным.
• Есть ли какие-либо исследования по этому поводу? Мне кажется, что существуют различные подзадачи, которые необходимо задать и изучить - в основном, в отношении свойств весовой функции.
• Можем ли мы свести эту проблему (возможно, при некоторых предположениях) к классической проблеме кратчайшего пути?

Это известно как проблема «кратчайшего пути, зависящего от времени». Действительно исследование было сделано для этой проблемы; см., например, классическую статью Орды и Рома, а также недавнюю статью SODA, в которой доказывается, что когда весовая функция каждого ребра кусочно-линейная, полиномиального размера, то кратчайший путь между двумя фиксированными точками изменяется раз.$n^{\Theta(\log n)}$

Алгоритм Дейкстры действительно может быть использован для этой проблемы, когда применяется политика ожидания, то есть ожидание в узле, если это уменьшает конечное время прибытия. Без политики ожидания ситуация намного хуже: кратчайший путь может быть непростым, подпуть кратчайшего пути не может быть кратчайшим между двумя конечными точками подпути, пути, проходящие через бесконечное число ребер, могут иметь конечное время прибытия и т. Д. Снова посмотрите статью Орды и Рома для дальнейшего обсуждения.

Вам известна проблема «кратчайших неубывающих путей»? Он был определен для моделирования таких ситуаций, как эти. Хотя это немного менее выразительно по сравнению с вашей формулировкой, есть быстрые подсказки для этого.

Если вы предполагаете, что времена являются интегральными (что имеет смысл в случае общественного транспорта), вы можете создать сеть с расширенным временем, аналогичную той, которая была предложена Ford-Fulkerson для максимального потока во времени (или самого быстрого потока) и вместо этого найдите кратчайший путь в этом графе.