Субэкспоненциально разрешимые задачи с жестким графом

25

В свете недавнего результата Arora, Barak и Steurer, Субэкспоненциальные алгоритмы для уникальных игр и смежных задач , я заинтересован в графовых задачах, которые имеют субэкспоненциальные алгоритмы времени, но полагают, что они не являются полиномиально разрешимыми. Известным примером является изоморфизм графов, который имеет субэкспоненциальный алгоритм времени выполнения . Другим примером является задача log-Clique, которая разрешима за квазиполиномиальное время ( ). $2^{O(n^{1/2} \log n)}$ $n^{O(\log n)}$

Я ищу интересные примеры и, желательно, ссылку на обзоры субэкспоненциальных задач с жестким графом (необязательно $NP$ -полный). Кроме того, существуют ли проблемы с $NP$ неполным графом с помощью субэкспоненциальных алгоритмов времени?

Impagliazzo, Paturi и Zane показали, что гипотеза экспоненциального времени подразумевает, что Clique, k-Colorability и Vertex Cover требуют $2^{\Omega(n)}$ времени.

cc.complexity-theory reference-request

— Мухаммед Аль-Туркистани
источник

2

Просто для полноты: log-CLIQUE =

{(G, k) | G has n vertices, k = \log n and G has a clique of size k}

$\{(G, k) | G \text{ has }n\text{ vertices, }k = \log n\text{ and }G\text{ has a clique of size }k\}$

— MS Dousti

20

Кстати проблема Макс Клика, в полной общности, может быть решена во времени где- размер ввода. $2^{\tilde O(\sqrt N)}$ $N$

Это тривиально, если граф представлен через матрицу смежности, потому что тогда , и поиск методом грубой силы займет время . $N=|V|^2$ $2^{O(|V|)}$

Но мы можем получить ту же оценку, даже если граф представлен списками смежности, с помощью алгоритма времени выполнения . Чтобы увидетькак, давайте получить $2^{\tilde O(\sqrt{|V| + |E|})}$ -временный алгоритм для NP-полной задачи решения, в которой нам дан графии мы хотим знать, существует ли клика размером. $2^{\tilde O(\sqrt{|V| + |E|})}$ $G=(V,E)$ $k$ $\geq k$

Алгоритм просто удаляет все вершины степени и ребра, падающие на них, затем делает это снова и так далее, пока у нас не останется индуцированный вершинами подграф над подмножеством вершин, каждая из степеней , или с пустым графиком. В последнем случае мы знаем, что клика размером может существовать. В первом случае мы выполняем поиск методом грубой силы, который выполняется примерно вовремя . Обратите внимание, что и $< k$ $V'$ $\geq k$ $\geq k$ $|V'|^k$ $|E| \geq k\cdot |V'| /2$ так что то , и поэтому полный перебор работает во время на самом деле работает во время $k\leq |V'|$ $|E| \geq k^2/2$ $|V'|^k$ . $2^{O(\sqrt{|E|} \cdot \log |V|)}$

— Лука Тревизан
источник

12

Действительно, по этим причинам Импальяццо, Патури и Зейн утверждали, что, когда задают вопрос о сложности

против

вам нужно установить

равным размеру свидетеля (который вы должны определить как часть проблема). В случае

клика свидетель имеет размер

2^{Ω (n)}

$2^{\Omega(n)}$

2^{o (n)}

$2^{o(n)}$

n

$n$

k

$k$

для малых

, в то время как, как вы говорите, вы можете предположить, что в wlog есть хотя бы

края и входной размер намного больше, чем размер свидетеля.

\log (\binom{| V |}{k}) \sim k \log | V |

$\log \binom{|V|}{k} \sim k\log |V|$

k

$k$

k | V |

$k|V|$

— Боаз Барак

22

Поскольку каждый планарный граф на вершинах имеет ширину дерева $n$ , все задачи, которые разрешимы завремени для графов с шириной не более ~(таких программ МНОЖЕСТВО), имеют алгоритмы субэкспоненциального времени на плоских графах путем вычисления коэффициента постоянной приближение к ширине дерева за полиномиальное время (например, путем вычисления ширины ветви с помощью алгоритма ratcatcher), а затем запуск алгоритма ширины дерева, что приводит к времени выполнения в форме $O(\sqrt{n})$ $O^*(2^{O(k)})$ $k$ для графов навершинах. Примерами являются Planar Independent Set и Planar Dominating Set, которые, конечно, являются NP-полными. $O^*(2^{O(\sqrt{n})})$ $n$

— Барт Янсен
источник

15

Существует тесная связь между субэкспоненциальной временной разрешимостью (SUBEPT) и фиксированной параметрируемостью (FPT). Связь между ними приведена в следующем документе.

Изоморфизм между субэкспоненциальной и параметризованной теорией сложности , Yijia Chen и Martin Grohe, 2006.

Вкратце, они ввели понятие, называемое миниатюризационным отображением , которое отображает параметризованную задачу в другую параметризованную задачу . Рассматривая обычную проблему как проблему, параметризованную размером ввода, мы имеем следующее соединение. (См. Теорему 16 в статье) $(P,\nu)$ $(Q,\kappa)$

Теорема . находится в SUBEPT, если находится в FPT. $(P,\nu)$ $(Q,\kappa)$

Будьте осторожны с определениями здесь. Обычно мы рассматриваем задачу с кликом как параметризованную по , поэтому для нее не существует субэкспоненциального алгоритма времени, предполагающего гипотезу экспоненциального времени. Но здесь мы позволим параметризовать проблему с помощью размера входа , поэтому проблему можно решить за $k$ $k$ $O(m+n)$ , который является субэкспоненциальным алгоритмом времени. И теорема говорит нам, чтозадача-клика является фиксированным параметром, который можно трактовать при некотором повороте параметра, что является разумным. $2^{O(\sqrt{m}\log m)}$ $k$ $k$

В общем, проблемы в SUBEPT при сокращениях SERF (субэкспоненциальные семейства сокращений) могут быть преобразованы в проблемы в FPT при сокращениях FPT. (Теорема 20 в статье) Кроме того, связи еще сильнее, так как они обеспечивают теорему изоморфизма между целой иерархией задач в теории экспоненциальной временной сложности и теории параметризованной сложности. (Теорема 25 и 47) Хотя изоморфизм не является полным (между ними есть некоторые недостающие связи), все же приятно иметь четкое представление об этих проблемах, и мы можем изучать субэкспоненциальные алгоритмы времени через параметризованную сложность.

См. Опрос Йорга Флума и Мартина Гроэ вместе с Якобо Тораном, редактором колонки сложности, для получения дополнительной информации.

— Сянь-Чжи Чан 張顯之
источник

Да. Кстати, Flum и Grohe написали обзор; Торан - редактор столбцов сложности.

— Энди Друкер

@ Энди: Спасибо за исправление. Я изменю статью соответственно.

— Сянь-Чи Чан 之之

12

Другим примером может служить игра «Полицейский и грабитель», которая NP-сложна, но разрешима за на графах с n вершинами. Библиографическая запись BibTeX в XML Федор В. Фомин, Петр А. Головач, Ян Кратохвиль, Николас Нисс, Кароль Сухан: Преследование быстрого грабителя на графе. Теор. Вычи. Sci. 411 (7-9): 1167-1181 (2010) $2^{o(n)}$

— XXYYXX
источник

3

К сожалению это может быть стыдно, но у меня было много времени , полагая

-Жестких проблемы не имеют алгоритмов времени суба-экспонент, только потому , что экспоненциальное гипотетическое время. :(

N P

$\mathsf{NP}$

— Сянь-Чи Чанг 之之

6

Без стыда ... но один простой способ понять, что это не так, - это взять любой

жесткий язык

, а затем сформировать «дополненную» версию

в которой экземпляры 'yes' имеют форму

, где

, для некоторого фиксированного

. Тогда

является

N P

$NP$

L \in N P T I M E (n^{k})

$L \in NPTIME(n^k)$

L^{'}

$L'$

(x, 1^{| x |^{c}})

$(x, 1^{|x|^c})$

x \in L

$x \in L$

c > k

$c > k$

L^{'}

$L'$

N P

$NP$ , но имеет детерминированный алгоритм, работающий во времени, по существу,

.

2^{n^{k / c}}

$2^{n^{k/c}}$

— Энди Друкер

7

Алгоритм наилучшего приближения для клики дает невероятно плохой коэффициент аппроксимации (напомним, что коэффициент аппроксимации тривиален). $n/\text{polylog } n$ $n$

Существуют результаты аппроксимации твердости при различных предположениях о твердости, которые не совсем соответствуют этому, но все же дают твердость . Лично я считаю, что аппроксимация для клики так же хороша, как алгоритмы за полиномиальное время. $n^{1-o(1)}$ $n/\text{polylog } n$

Но приближение для клики может быть легко выполнено за квазиполиномиальное время. $n/\text{polylog } n$

NP-трудная проблема - это проблема, которая имеет сокращение полиномиального времени от SAT. Даже если SAT требуется время , это может перевести время для проблемы, к которой мы приводим. Если последний имеет входной размер N, это может быть случай, когда для небольшой константы . $2^{\Omega(n)}$ $2^{\Omega(N^\epsilon)}$ $N=n^{1/\epsilon}$ $\epsilon$

— Дана Мошковиц
источник