Классы графов с легким гамильтоновым циклом, но NP-сложным TSP

13

Задача о гамильтоновом цикле (HC) состоит в том, чтобы найти цикл, который проходит через все вершины в данном неориентированном графе. Задача коммивояжера (TSP) состоит в том, чтобы найти цикл, который проходит через все вершины в данном графе, взвешенном по ребрам, и минимизирует общее расстояние, измеренное суммой весов ребер в цикле. HC является частным случаем TSP, и оба они известны как NP-полные [Garey & Johnson]. (См. Ссылки выше для более подробной информации и вариантов этих проблем.)

Существуют ли изученные классы графов, на которых задача о гамильтоновом цикле разрешима за полиномиальное время с помощью нетривиального алгоритма, но задача коммивояжера NP-трудна?

Нетривиальным является исключение таких классов, как класс полных графов, где гамильтонов цикл гарантированно существует и может быть легко найден, или вообще классы графов, где HC всегда гарантированно существует.

— Standa Zivny
источник

20

Cographs не всегда являются гамильтоновыми, имеют полиномиальные временные тесты на гамильтоновость и NP-трудны для решения задачи коммивояжера.

В более общем плане задача о гамильтоновом цикле может быть решена за полиномиальное время (но не является фиксируемым параметром) на графах ограниченной ширины клики ; см., например, Фомин и др., «Ширина клика: по цене общности», SODA'09. Но опять же, поскольку эти семейства графов включают в себя полные графы, TSP жестко относится к этим графам.

— Дэвид Эппштейн
источник

Меня интересует ваше последнее заявление. Это потому, что тур TSP будет эффективно определять клики, если все вершины кликов будут смежными в туре?

— Суреш Венкат

1

Нет, я имею в виду, что TSP сложен даже в полном графе, и полные графы находятся среди графов с ограниченной шириной клика. Сами полные графы не дают хорошего ответа на вопрос, потому что гамильтоновость для них тривиальна, но у суперклассов клик (таких как cographs) могут быть нетривиальные, но полиномиальные тесты гамильтоновости.

— Дэвид Эппштейн

11

Как насчет полных графиков ? Так как TSP всегда может быть сведен к экземпляру на полных графах (путем добавления правильных расстояний между не ребрами), все еще непросто решить TSP на полных графах. Но любые полные графы гамильтоновы.

— Сянь-Чжи Чан 張顯之
источник

Да, конечно, спасибо! Забыл исключить полные графы, и в этом отношении все классы графов, где HC разрешима тривиально.

— Standa Zivny

3

@Standa Zivny: Я не уверен, собираетесь ли вы редактировать вопрос или нет, но если вы хотите исключить «все классы графиков, где HC разрешимо тривиально», вам следует отредактировать вопрос. Однако я сомневаюсь, что можно сформулировать различие между случаем, когда HC может быть решен «легко», и случаем, когда HC может быть решен «тривиально».

— Цуёси Ито

@ Tsuyoshi Ito: Хороший вопрос, я редактировал вопрос.

— Standa Zivny

@StandaZivny - Не все графы, тривиальные для HC, сложны для TSP, например, графы путей.

— РБ

3

Существует много бесконечных классов графов, которые, как известно, имеют гамильтоновы схемы. Два особенно интересных класса - это n-кубы и графы Халина. Один из способов мышления для графов Халина состоит в том, чтобы встроить дерево, по крайней мере, с 3 вершинами, в котором нет вершин валентности 2 на плоскости, а затем пропустить простую схему через 1-валентные вершины дерева.

http://en.wikipedia.org/wiki/Halin_graph

Известно, что эти графики имеют HC, и на самом деле они либо панциклические (цепи любой длины), либо не имеют ровно одной длины цепи, которая должна быть четной длины.

— Иосиф Малкевич
источник