Нахождение наибольшего набора точек ограниченного диаметра

Для заданных точек в и расстояния найти наибольшее подмножество этих точек, такое, что евклидово расстояние ни одной из них не превышает . $p_1,\ldots,p_n$ $\mathbb{R}^{d}$ $l$ $l$

В чем сложность этой проблемы?

На графике точек, имеющих ребро, когда расстояние между двумя точками не превышает , задача эквивалентна поиску максимальной клики. Обратное может не иметь места, потому что не каждый граф может быть получен таким способом (примером является звезда для ). Поэтому связанный вопрос: что известно об этом классе графов? $l$ $K_{1,7}$ $d=2$

ds.algorithms reference-request cg.comp-geom

— Маркус Ритт
источник

Обратите внимание, что если

фиксировано, то существует «тривиальный» алгоритм P-времени: поскольку такой набор заключен в шар радиуса

, и без потери общности шар минимален (т.е. касается точек

), просто перечислите все подмножества. Вы можете сделать лучше, но с точки зрения сложности, проблема "легкая".

d

$d$

l / 2

$l/2$

d + 1

$d+1$

— Суреш Венкат

Я не думаю, что это правда, что оптимальный набор обязательно заключен в шар радиуса l / 2. Например, в плоскости три вершины равностороннего треугольника с длиной стороны l не так замкнуты.

— Дэвид Эппштейн

ах правда. но перечисление должно работать независимо.

— Суреш Венкат

Вы можете перечислить подмножества внутри шаров, но если вы сделаете радиус l / 2, вы не найдете некоторые подмножества с низким диаметром, и если вы сделаете радиус больше этого, тогда не очевидно, как урезать подмножества так, чтобы они имеют низкий диаметр.

— Дэвид Эппштейн

почему я не могу перечислить подмножества, найти минимальный вмещающий шар и вычислить количество элементов внутри каждого?

— Суреш Венкат

Ответы:

В моей работе с Джеффом Эриксоном «Время для двумерной версии этой задачи « Итерированные ближайшие соседи и поиск минимальных многогранников », Диск. Комп. Геом. 11: 321-350, 1994. На самом деле, статья в основном рассматривает двойственную проблему: учитывая количество точек в подмножестве, найдите наименьший возможный диаметр; но он использует проблему, которую вы описываете как подпрограмму. По крайней мере, в то время, когда мы это писали, мы не знали ничего субэкспоненциального для более высоких измерений (хотя, если в подмножестве есть только точек, экспоненциальную часть можно сделать зависимой от а не от $O(n^3\log n)$ $k$ $k$ $n$ используя методы в той же статье).

— Дэвид Эппштейн
источник

Аппроксимация довольно проста, если вас интересует наименьшее подмножество с диаметром не более . Алгоритм линейного времени с использованием сеток теперь является «стандартным». Константа, вероятно, будет что-то вроде . $(1+\epsilon)l$ $2^{O(1/\epsilon^d)}$

Существует некоторая работа по поиску наименьшего шара, содержащего k точек, но проблема диаметра по своей сути сложнее. Чтобы понять почему, хорошей отправной точкой является статья Кларксона-Шора для вычисления диаметра в 3d.

$O(1/\epsilon^2)$

— Сариэль Хар-Пелед
источник