Условия универсальности NFA

Рассмотрим недетерминированные конечные автоматы $A = (Q, \Sigma, \delta, q_0, F)$ и функцию $f(n)$ . Дополнительно определим $\Sigma^{\leq k} = \bigcup_{i \leq k} \Sigma^i$ .

Теперь давайте проанализируем следующее утверждение:

Если $\Sigma^{\leq f(|Q|)} \subseteq L(A)$ , то $L(A) = \Sigma^*$ .

Нетрудно показать, что для $f(n) = 2^n+1$ это верно, следовательно, если автоматы генерируют каждое слово длиной до , то оно производит .$2^{|Q|}+1$$\Sigma^*$

Но это все еще держится, если - многочлен?$f$

Если нет, то как может выглядеть конструкция NFA для данного полинома : st ?$A$$p$$\Sigma^{\leq p(|Q|)} \subseteq L(A) \subsetneq \Sigma^*$

Чтобы утверждение сохранялось, f должно расти экспоненциально, даже с унарным алфавитом.

[Редактировать: анализ немного улучшен в редакции 2.]

Вот примерный набросок. Предположим, что утверждение выполнено, и пусть f будет функцией, такой, что каждый NFA с не более чем n состояниями, который принимает все строки с длиной не более f ( n ), принимает все строки вообще. Докажем, что для любого C > 0 и достаточно большого n имеем f ( n )> 2 ^{C ⋅√ n} .

Из теоремы о простых числах следует, что для любого c <lg e и для достаточно больших k в интервале имеется не менее c ⋅ 2 ^k / k простых чисел [2 ^k , 2 ^{k +1} ]. Мы берем с = 1. Для такого k пусть N _k = k2 ^k / k ⌉ и определим NFA M _k следующим образом. Пусть p ₁ ,…, p _{N k} - различные простые числа в диапазоне [2 ^k , 2 ^{k +1}]. NFA M _k имеет S _k = 1 + p ₁ +… + p _{N k} состояний. Помимо начального состояния, состояния делятся на N _k циклов, где i- й цикл имеет длину p _i . В каждом цикле все, кроме одного состояния, являются принятыми состояниями. Исходное состояние имеет N _k исходящих ребер, каждый из которых переходит в состояние сразу после отклоненного состояния в каждом цикле. Наконец, начальное состояние также принимается.

Пусть P _k - произведение p ₁ … p _{N k} . Легко видеть, что M _k принимает все строки длиной меньше P _k, но отклоняет строку длины P _k . Следовательно, f ( S _k ) ≥ P _k .

Отметим, что S _k ≤ 1 + N _k ⋅2 ^{k +1} = o (2 ^{2 k} ) и что P _k ≥ (2 ^k ) ^{N _k} ≥ 2 ^{2 k} . Остальное стандартно.

РЕДАКТИРОВАТЬ В 10/12/06:

хорошо, это в значительной степени лучшая конструкция, которую я могу получить, посмотрим, если кто-нибудь придумает лучшие идеи.

Теорема. Для каждого существует ( 5 n + 12 ) -состояния NFA M над алфавитами Σ с | Σ | = 5 так , что самая короткая строка, не входящая в L ( M ), имеет длину ( 2 n - 1 ) ( n + 1 ) + 1 .$n$$(5n+12)$$M$$\Sigma$$|\Sigma|=5$$L(M)$$(2^n-1)(n+1)+1$

Это даст нам .$f(n) = \Omega(2^{n/5})$

Конструкция почти такая же, как у Шаллита , за исключением того, что мы создаем NFA напрямую, вместо того, чтобы сначала представлять язык регулярным выражением. Позволять

.$\Sigma = \{{0 \brack 0},{0 \brack 1},{1 \brack 0},{1 \brack 1},\sharp\}$

Для каждого мы собираемся построить язык распознавания NFA Σ ∗ - { s n } , где s n - следующая последовательность (например, n = 3 ):$n$$\Sigma^*-\{s_n\}$$s_n$$n=3$

.$s_3 = \sharp{0 \brack 0}{0 \brack 0}{0 \brack 1}\sharp{0 \brack 0}{0 \brack 1}{1 \brack 0}\sharp \ldots \sharp{1 \brack 1}{1 \brack 1}{0 \brack 1}\sharp$

Идея в том, что мы можем построить NFA состоит из пяти частей;

• стартер , который обеспечивает строка начинается с ;$\sharp{0 \brack 0}{0 \brack 0}{0 \brack 1}\sharp$
• терминатор , который обеспечивает струнные концы с ;$\sharp{1 \brack 1}{1 \brack 1}{0 \brack 1}\sharp$
• счетчик , который хранит число символов между двумя «S , как п ;$\sharp$$n$
• средство проверки add-one , которое гарантирует, что только символы с формой появляется x + 1 ;; Ну наконец то,$\sharp{x \atop x+1}\sharp$
• последовательная проверка , которая гарантирует , что только символы с формой могут появляться одновременно.$\sharp{x \atop y}\sharp{y \atop z}\sharp$

Обратите внимание, что мы хотим принять вместо { s n } , поэтому, как только мы узнаем, что входная последовательность не подчиняется одному из описанных выше способов поведения, мы немедленно принимаем последовательность. В противном случае после | с н | шаги, NFA будет в единственно возможном состоянии отказа. И если последовательность длиннее, чем | с н | НФА также принимает. Таким образом, любой NFA, удовлетворяющий вышеуказанным пяти условиям, будет отклонять только s n .$\Sigma^*-\{s_n\}$$\{s_n\}$$|s_n|$$|s_n|$$s_n$

Может быть легко проверить следующую фигуру непосредственно вместо строгого доказательства:

Мы начинаем с верхнего левого состояния. Первая часть - это стартер, а затем счетчик, затем согласованный контролер, терминатор, и, наконец, проверка на добавление. Вся дуга без конечных узлов указывает на нижнее правое состояние, которое является постоянным акцептором. Некоторые края не помечены из-за отсутствия пробелов, но их можно легко восстановить. Штриховая линия представляет последовательность из состояний с n - 2 ребрами.$n-1$$n-2$

Мы можем (мучительно) проверить, что NFA отклоняет только , поскольку оно следует всем пяти вышеприведенным правилам. Итак ( 5 n + 12 ) -состояния NFA с | Σ | = 5 , что удовлетворяет требованию теоремы.$s_n$$(5n+12)$$|\Sigma|=5$

Если есть какие-то неясности / проблемы со строительством, пожалуйста, оставьте комментарий, и я постараюсь объяснить / исправить это.

$f(n)$$|\Sigma|>1$

На странице 46-51 своего выступления об универсальности он представил такую ​​конструкцию, которая:

Theorem. For $n\geq N$ for some $N$ large enough, there is an $n$-state NFA $M$ over binary alphabets such that the shortest string not in $L(M)$ is of length $\Omega(2^{cn})$ for $c=1/75$.

Thus the optimal value for $f(n)$ is somewhere between $2^{n/75}$ and $2^n$. I'm not sure if the result by Shallit has been improved in recent years.