Параметризованная сложность от P до NP-хард и обратно

Я ищу примеры задач, параметризованных числом , где жесткость задачи немонотонна по k . Большинство проблем (по моему опыту) имеют один фазовый переход, например, k- SAT имеет один фазовый переход от k ∈ { 1 , 2 } (где проблема в P) к k ≥ 3 (где проблема NP- полный). Меня интересуют проблемы, в которых происходят фазовые переходы в обоих направлениях (от простого к сложному и наоборот) при увеличении k .$k \in \mathbb{N}$$k$$k$$k \in \{1,2\}$$k \ge 3$$k$

Мой вопрос чем-то похож на вопрос, заданный в « Переходах твердости в вычислительной сложности» , и на самом деле некоторые ответы там относятся к моему вопросу.

Примеры, которые я знаю:

1. $k$ -цветность плоских графов: в P за исключением случаев, когда$k=3$ , где NP-полная.
2. Дерево Штейнера с терминалами: в P, когда k = 2 (сворачивается на кратчайший s - t путь) и когда k = n (сворачивается в MST), но NP-hard «между». Я не знаю, являются ли эти фазовые переходы резкими (например, P для k 0, но NP-hard для k 0 + 1 ). Кроме того, переходы k зависят от размера входного экземпляра, в отличие от моих других примеров.$k$$k=2$$s$$t$$k=n$$k_0$$k_0+1$$k$
3. Подсчет удовлетворяющих присвоений плоской формулы по модулю $n$ : В P, когда $n$ - простое число Мерсенна, $n=2^k-1$ , и # P-Complete для большинства (?) / Всех других значений $n$ (от Аарона Стерлинга в этой теме ) , Много фазовых переходов!
4. Индуцированное обнаружение подграфа: проблема не параметризована целым числом, а графиком. Существуют графы (где ⊆ обозначает определенный вид отношения подграфа), для которых определяется, находится ли H i ⊆ G для данного графа G в P для i ∈ { 1 , 3 }, но NP- завершено для i = 2 . (от Сянь-Чжи Чанга в той же теме ).$H_1 \subseteq H_2 \subseteq H_3$$\subseteq$$H_i \subseteq G$$G$$i\in \{1,3\}$$i=2$

Одна область с большим количеством немонотонности сложности проблемы - это тестирование свойств. Пусть - множество всех n- вершинных графов, а P ⊆ G n - свойство графа. Общая проблема состоит в том, чтобы определить, обладает ли граф G свойством P (т. Е. G ∈ P ) или «далек» от свойства P в некотором смысле. В зависимости от того, что представляет собой P и какой тип запроса у вас есть к графику, проблема может быть довольно сложной.$\mathcal{G}_n$$n$$P \subseteq \mathcal{G}_n$$G$$P$$G \in P$$P$$P$

Но легко заметить, что проблема немонотонная: в том случае, если мы имеем , тот факт, что P легко тестируем, не означает, что S легко тестируемо или T таково . $S \subset P \subset T$$P$$S$$T$

Чтобы убедиться в этом, достаточно заметить , что и P = ∅ оба тривиальным проверяемым, но для некоторых свойств, существуют сильные нижние границы.$P = \mathcal{G}_n$$P = \emptyset$

Для данного графа и целого числа к ≥ 1 , в K -й мощности G , обозначаемой G к , имеет ту же самую вершину устанавливается так , что две различные вершины смежны в G к , если их расстояние в G не превосходит к . Задача k-й степени расщепленного графа спрашивает, является ли данный граф k -й степенью графа расщепления.$G$$k\ge 1$$k$$G$$G^k$$G^k$$G$$k$$k$$k$

• При задача разрешима за линейное время. Это потому, что распознавание расщепленных графов выполнимо за линейное время (хорошо известно).$k=1$
• Для задача NP-полна. Это доказано Лау и Корнейлом в « Распознавание степеней правильного интервала», «расщепления» и «хордального графа» , SIAM J. Discrete Math., 18 (2004), 83-102 .$k=2$
• При задача тривиальна: только полные графы являются k- тыми степенями расщепленного графа.$k\ge 3$$k$

$\Delta$$\Delta=2$3 ⩽ Δ ⩽ $\Delta\geqslant 7$$3\leqslant\Delta\leqslant 6$

Соответствующий вопрос обсуждается здесь .

Определение, имеет ли граф доминирующую клику для:$G$

• $diam(G)=1$ тривиально - ответ всегда «да»
• $diam(G)=2$ является NP-полным
• $diam(G)=3$ является NP-полной
• $diam(G)\ge 4$ тривиален - ответ всегда «нет»

Случай связан с Брандштадтом и Крачем , а случай отмечен в моей недавней статье .d i a m ( G ) = $diam(G)=3$$diam(G)=2$

Это пример того явления, которое вы ищете?

Рассмотрим задачу k-Clique, где k - это размер клики, которую мы ищем. Итак, проблема в том, есть ли клика размера k в графе G по n вершинам?

Для всех констант k проблема в P. (Алгоритм грубой силы выполняется за время .) Для больших значений k, например, таких как n / 2, он является NP-полным. Когда k становится очень близко к n, как nc для некоторой константы c, проблема снова в P, потому что мы можем искать по всем подмножествам n вершин размера nc и проверять, образует ли какая-либо из них клику. (Есть только таких подмножеств, которые полиномиально велики, когда c является константой.)O ( n c$O(n^k)$$O(n^c)$

Вот пример, который может быть того типа, который вы ищете. Параметр не является целым числом, это пара чисел. (Хотя один из них может быть исправлен, чтобы сделать его проблемой с одним параметром.)

Задача состоит в том, чтобы оценить многочлен Тутте графа G в координатах (x, y). Мы можем ограничить координаты целыми числами. Проблема в P, если (x, y) является одной из точек (1, 1), (-1, -1), (0, -1), (-1,0) или удовлетворяет (x-1 ) (у-1) = 1. Иначе это # ​​P-hard.

Я получил это из статьи Википедии о полиноме Тутте .

$k$$k=2$$2^d$$O(n^{4d-3})$$d \geq 2$$k$$2$

$t$

$t$$t$$G$$H$$G$$x$$y$$x$$y$$H$$t$$G$$t$$t$

Сплит график представляет собой график , у которого множество вершин можно разбить на клики и независимое множество.

$t \ge 3$$t$

$k$

$k \ne \Delta$$NP$

Для кубических графов, решающих существование окраски ребер, используем:

• $k=2$
• $k=3$$NP$
• $k \ge 4$

Холиер, Ян (1981), «NP-полнота окраски краев», журнал SIAM по вычислительной технике 10: 718–720

http://en.wikipedia.org/wiki/Edge_coloring

$\to$$\to$$\to$$\to \cdots$

$n$$n$$n$$n$

Доказательство было объявлено в этой статье .

$k$$k$

$G$$k=1$$G$$\sf NP$$k \in \{2,3\}$$\sf P$$k$

См. Чандран, Л. Сунил, Дипак Раджендрапрасад и Марек Тесарж. «Радужная раскраска расщепленных графов». Препринт arXiv arXiv: 1404.4478 (2014).

$U\subseteq V(G)$$G$$G[U]$$G-U$

Решение о том, имеет ли график диаметра 1 несвязанный срез, является тривиальным. Проблема становится NP-трудной на графиках диаметра 2, см. Эту статью, и опять же легко на графиках диаметром не менее 3 см. Эту статью .