Может ли случайный оракул изменить, какие проблемы с TFNP сильно усугубляются?

Я думал о следующем вопросе в
разное время с тех пор, как увидел этот вопрос по криптографии .

Вопрос

Позволять $R$ быть отношением TFNP . Может ли случайный оракул помочь П / поли
сломаться? $R$ с ничтожной вероятностью? Более формально, $\newcommand{\Pr}{\operatorname{Pr}} \newcommand{\E}{\operatorname{\mathbb{E}}} \newcommand{\O}{\mathcal{O}} \newcommand{\Good}{\mathsf{Good}}$

Имеет ли

для всех P / поли алгоритмов $A$ , $\Pr_x [R(x, A(x))]$ является незначительным

обязательно подразумевают, что

для почти всех O racles $\O$ , Для всех P / поли оракула-алгоритмы $A$ , $\Pr_x [R(x, A^\O(x))]$ Ничтожно мал

Альтернативная формулировка

Соответствующий набор оракулов $G_{\delta\sigma}$ (таким образом измеримым), поэтому, принимая контраположительное и применяя закон Колмогорова ноль один , следующая формулировка эквивалентна исходной.

Имеет ли

для почти всех O racles $\O$ ,
существует P / poly oracle-алгоритм $A$ такой, что $\Pr_x [R(x,A^\O(x))]$ не пренебрежимо мало

обязательно подразумевают, что

существует алгоритм P / poly $A$ такой, что $\Pr_x [R(x,A(x))]$ не пренебрежимо мало

Единый корпус

Вот доказательство для единой версии :

Существует только многочисленное множество алгоритмов оракула PPT, поэтому из-за исчисляемой аддитивности нулевого [идеального] [8] есть алгоритм PPT $A$ такой, что для ненулевого набора оракулов $\O$ ,
$\Pr_x [R(x,A^\O(x))]$ не является ничтожным Позволять $B$ будь таким оракулом-алгоритмом.

Точно так же, пусть $c$ быть положительным целым числом таким, чтобы для ненулевого набора оракулов $\O$ ,
$\Pr_x[R(x,B^\O(x))]$ бесконечно часто, по крайней мере, $n^{-c}$ , где $n$ длина ввода.
Противоположным Борел-Кантелли , $\sum_{n=0}^{\infty} \Pr_{\O} \left[ n^{-c} \leq \Pr_{x\in\{0,1\}^n}[R(x,B^\O(x))] \right]$ бесконечен.

По сравнительному тесту , бесконечно часто $\Pr_{\O} \left[ n^{-c} \leq \Pr_{x\in \{0,1\}^n}[R(x,B^\O(x)) \right] \geq n^{-2}$ ,

Позволять $S$ быть алгоритмом PPT, который [имитирует оракула] [12] и работает $B$ с этим смоделированным оракулом.

Fix $n$ и разреши $\Good$ быть набором оракулов $\O$ такой, что $n^{-c} \leq \Pr_{x\in\{0,1\}^n} [R(x,B^\O(x))]$ ,

Если $\Good$ тогда не нуль

\begin{matrix} \Pr_{O} [O \in G o o d] \cdot n^{- c} \\ = \\ \Pr_{O} [O \in G o o d] \cdot E_{O} [n^{- c}] \\ \leq \\ \Pr_{O} [O \in G o o d] \cdot E_{O} [\Pr_{x \in {0, 1}^{n}} [R (x, B^{O} (x))] ∣ O \in G o o d] \\ = \\ E_{O} [\Pr_{x \in {0, 1}^{n}} [O \in G o o d and R (x, B^{O} (x))]] \\ \leq \\ E_{O} [\Pr_{x \in {0, 1}^{n}} [R (x, B^{O} (x))]] \\ = \\ \Pr_{O, x \in {0, 1}^{n}} [R (x, B^{O} (x))] \\ = \\ \Pr_{x \in {0, 1}^{n}, O} [R (x, B^{O} (x))] \\ = \\ E_{x \in {0, 1}^{n}} [\Pr_{O} [R (x, B^{O} (x))]] \\ = \\ E_{x \in {0, 1}^{n}} [\Pr [R (x, S (x))]] \\ = \\ \Pr_{x \in {0, 1}^{n}} [R (x, S (x))] \end{matrix}

$\begin{matrix} \Pr_{\O} [\O\in \Good] \cdot n^{-c} \\ = \\ \Pr_{\O} [\O\in \Good] \cdot \E_{\O}[n^{-c}] \\ \leq \\ \Pr_{\O} [\O\in \Good] \cdot \E_{\O} \left[ \Pr_{x\in \{0,1\}^n} [R(x,B^\O(x))] \mid \O \in \Good \right] \\ = \\ \E_{\O}\left[ \Pr_{x\in \{0,1\}^n} [\O \in \Good \text{ and } R(x,B^\O(x))] \right] \\ \leq \\ \E_{\O}\left[ \Pr_{x\in \{0,1\}^n} [R(x,B^\O(x))] \right] \\ = \\ \Pr_{\O, x\in\{0,1\}^n} [R(x,B^\O(x))] \\ = \\ \Pr_{x\in \{0,1\}^n, \O} [R(x,B^\O(x))] \\ = \\ \E_{x\in \{0,1\}^n} \left[ \Pr_{\O}[R(x,B^\O(x))] \right] \\ = \\ \E_{x\in \{0,1\}^n} \left[ \Pr[R(x,S(x))] \right] \\ = \\ \Pr_{x\in \{0,1\}^n} [R(x,S(x))] \end{matrix}$ ,

поскольку $\Pr_{\O} [\O\in \Good] \geq n^{-2}$ бесконечно часто, $\Pr_x[R(x,S(x))]$ не является незначительным.

Поэтому единый вариант верен. В доказательстве критически используется тот факт, что существует
только много счетных алгоритмов PPT . Эта идея не работает в
неоднородном случае, так как существует множество континуальных алгоритмов P / poly oracle.

— Сообщество
источник

Я не думаю, что это действительно вопрос о оракулах. поскольку

O

$\mathcal{O}$ не зависит от

R

$R$ Вы можете также дать

A

$A$ доступ к случайной строке. Тогда возникает вопрос: увеличивает ли случайность мощность многоразмерных цепей? Ответ на это "нет", так как если

A

$A$ Если бы вы получили доступ к случайной строке, то, используя аргумент усреднения, существует особая настройка случайной строки, с которой

A

$A$ могли бы сделать хорошо, и тогда мы могли бы просто закрепить эту строку в

A

$A$ Схема

— Адам Смит

@AdamSmith: "С

O

$\mathcal{O}$ не зависит от

R

$R$ Вы можете также дать

A

$A$ Доступ к случайной строке»есть интуиция, но я не вижу какой - либо способ превратить его в доказательство.

@ Адам, есть еще один важный показатель. Я думаю, что легче взглянуть на отрицание: возможно ли, что почти для каждого оракула существует неоднородный противник, который может использовать оракула для решения проблемы поиска?

— Каве

Понимаю. Я отвечал на другой вопрос. Извините за путаницу.

— Адам Смит

@domotorp: они должны быть исправлены сейчас. (Моя лучшая догадка, почему это произошло

$\hspace{1.05 in}$ использование пронумерованных ссылок , а не в линии связи).

Нет моему названию и Да моему телу вопроса. Это фактически обобщает сразу
для каждой игры полиномиальной длины, которая не использует код противника.

Обратите внимание, что я буду использовать $C$ для противников, а не $A$ ,
чтобы соответствовать обозначениям теоремы 2 .

Предположим, что почти для всех оракулов $\mathcal{O}$ , существует P / poly
oracle-алгоритм $C$ такой, что $\operatorname{Pr}_x\hspace{-0.06 in}\left[\hspace{.02 in}R\hspace{-0.04 in}\left(x,\hspace{-0.04 in}C^{\mathcal{O}\hspace{-0.02 in}}(x)\hspace{-0.03 in}\right)\hspace{-0.02 in}\right]$ не является ничтожным

Почти для всех оракулов $\mathcal{O}$ существует такое положительное целое число d, что
существует последовательность цепей размером не более d + n ^d, такая что
$\operatorname{Pr}_{x\in \{0,1\}^n}\hspace{-0.06 in}\left[\hspace{.02 in}R\hspace{-0.04 in}\left(x,\hspace{-0.04 in}C^{\mathcal{O}\hspace{-0.02 in}}(x)\hspace{-0.03 in}\right)\hspace{-0.02 in}\right]$ бесконечно часто больше, чем $1\hspace{-0.04 in}\big/\hspace{-0.07 in}\left(\hspace{-0.02 in}n^d\hspace{-0.02 in}\right)$ ,

По счетной аддитивности существует такое положительное целое число d, что для ненулевого набора оракулов $\mathcal{O}$ существует последовательность цепей размером не более d + n ^d такая, что
$\operatorname{Pr}_{x\in \{0,1\}^n}\hspace{-0.06 in}\left[\hspace{.02 in}R\hspace{-0.04 in}\left(x,\hspace{-0.04 in}C^{\mathcal{O}\hspace{-0.02 in}}(x)\hspace{-0.03 in}\right)\hspace{-0.02 in}\right]$ бесконечно часто больше, чем $1\hspace{-0.04 in}\big/\hspace{-0.07 in}\left(\hspace{-0.02 in}n^d\hspace{-0.02 in}\right)$ ,

Пусть j будет таким объявлением, и пусть z будет (не обязательно эффективным) алгоритмом оракула, который
принимает n в качестве входных данных и выводит лексикографически наименьшую схему оракула размером не более j + n $^{\hspace{.03 in}j}$
что максимизирует $\operatorname{Pr}_{x\in \{0,1\}^n}\hspace{-0.06 in}\left[\hspace{.02 in}R\hspace{-0.04 in}\left(x,\hspace{-0.04 in}C^{\mathcal{O}\hspace{-0.02 in}}(x)\hspace{-0.03 in}\right)\hspace{-0.02 in}\right]$ , Противоположным Борел-Кантелли , $1\hspace{-0.04 in}\big/\hspace{-0.07 in}\left(\hspace{-0.02 in}n^2\hspace{-0.02 in}\right) \: < \: \operatorname{Prob}_{\mathcal{O}}\hspace{-0.05 in}\bigg[\hspace{-0.02 in}1\hspace{-0.04 in}\big/\hspace{-0.07 in}\left(\hspace{-0.03 in}n^{\hspace{.04 in}j}\hspace{-0.02 in}\right) < \operatorname{Pr}_{x\in \{0,1\}^n}\hspace{-0.06 in}\left[\hspace{.02 in}R\hspace{-0.04 in}\left(\hspace{-0.04 in}x,\hspace{-0.04 in}\left(z^{\mathcal{O}}\right)^{\hspace{-0.04 in}\mathcal{O}\hspace{-0.02 in}}(x)\hspace{-0.05 in}\right)\hspace{-0.02 in}\right]\hspace{-0.06 in}\bigg] \;\;\;$ для бесконечно многих п.

Для таких n,

$1\hspace{-0.04 in}\big/\hspace{-0.07 in}\left(\hspace{-0.02 in}n^{2+j}\hspace{-0.02 in}\right) \; = \; 1\hspace{-0.04 in}\big/\hspace{-0.07 in}\left(\hspace{-0.04 in}\left(\hspace{-0.02 in}n^2\hspace{-0.02 in}\right)\hspace{-0.06 in}\cdot \hspace{-0.06 in}\left(\hspace{-0.02 in}n^{\hspace{.04 in}j}\hspace{-0.02 in}\right)\hspace{-0.04 in}\right) \; = \; \left(\hspace{-0.02 in}1\hspace{-0.04 in}\big/\hspace{-0.07 in}\left(\hspace{-0.02 in}n^2\hspace{-0.02 in}\right)\hspace{-0.03 in}\right) \cdot \left(\hspace{-0.02 in}1\hspace{-0.04 in}\big/\hspace{-0.07 in}\left(\hspace{-0.02 in}n^{\hspace{.04 in}j}\hspace{-0.02 in}\right)\hspace{-0.03 in}\right) \; < \; \operatorname{Prob}_{\mathcal{O}\hspace{.02 in},\hspace{.04 in}x\in \{0,1\}^n}\hspace{-0.06 in}\left[R\hspace{-0.04 in}\left(\hspace{-0.04 in}x,\hspace{-0.04 in}\left(z^{\mathcal{O}}\right)^{\hspace{-0.04 in}\mathcal{O}\hspace{-0.02 in}}(x)\hspace{-0.05 in}\right)\hspace{-0.02 in}\right]$

,

Позволять $A$ быть оракулом-алгоритмом, который принимает 2 входа, один из которых $n$ и делает следующее:

Выберите случайную n-битную строку $x$ , Попытайтесь
[проанализировать другой вход как цепь оракула и запустить эту схему оракула на n-битной строке].
Если это удастся и вывод оракула $y$ удовлетворяет R (x, y), затем выдает 1, иначе выдает 0.

(Обратите внимание, что $A$ это не только противник.)
Для бесконечно многих п, $\;\;\; 1\hspace{-0.04 in}\big/\hspace{-0.07 in}\left(\hspace{-0.02 in}n^{2+j}\hspace{-0.02 in}\right) \; < \; \operatorname{Prob}_{\mathcal{O}}\left[A^{\mathcal{O}}(n,z^{\mathcal{O}}(n))\right] \:\:\:\:$ ,
Пусть p будет таким же, как в теореме 2 , и положим $\;\;\; f \: = \: 2\hspace{-0.04 in}\cdot \hspace{-0.04 in}p\hspace{-0.04 in}\cdot \hspace{-0.04 in}\left(\hspace{.02 in}j\hspace{-0.04 in}+\hspace{-0.04 in}n^{\hspace{.04 in}j}\hspace{-0.02 in}\right)\hspace{-0.04 in}\cdot \hspace{-0.04 in}n^{(2+j)\cdot 2} \:\:\:\:$ ,

По теореме 2 существует функция оракула $\mathcal{S}$ такой, что с $\mathcal{P}$ как в этой теореме,
если $\;\;\; 1\hspace{-0.04 in}\big/\hspace{-0.07 in}\left(\hspace{-0.02 in}n^{2+j}\hspace{-0.02 in}\right) \; < \; \operatorname{Prob}_{\mathcal{O}}\left[A^{\mathcal{O}}(n,z^{\mathcal{O}}(n))\right] \;\;\;$ тогда

$1\hspace{-0.04 in}\big/\hspace{-0.07 in}\left(2\hspace{-0.06 in}\cdot \hspace{-0.06 in}\left(\hspace{-0.02 in}n^{2+j}\right)\hspace{-0.04 in}\right) \; = \; \left(\hspace{-0.02 in}1\hspace{-0.04 in}\big/\hspace{-0.07 in}\left(\hspace{-0.02 in}n^{2+j}\hspace{-0.02 in}\right)\hspace{-0.03 in}\right)-\left(\hspace{-0.04 in}1\hspace{-0.04 in}\big/\hspace{-0.07 in}\left(2\hspace{-0.06 in}\cdot \hspace{-0.06 in}\left(\hspace{-0.02 in}n^{2+j}\right)\hspace{-0.04 in}\right)\hspace{-0.04 in}\right) \; = \; \left(\hspace{-0.02 in}1\hspace{-0.04 in}\big/\hspace{-0.07 in}\left(\hspace{-0.02 in}n^{2+j}\hspace{-0.02 in}\right)\hspace{-0.03 in}\right)\hspace{-0.04 in}-\hspace{-0.04 in}\sqrt{1\hspace{-0.04 in}\big/\hspace{-0.07 in}\left(2\hspace{-0.06 in}\cdot \hspace{-0.06 in}2\hspace{-0.06 in}\cdot \hspace{-0.06 in}\left(\hspace{-0.02 in}n^{(2+j)\cdot 2}\right)\hspace{-0.04 in}\right)}$
$= \; \left(\hspace{-0.02 in}1\hspace{-0.04 in}\big/\hspace{-0.07 in}\left(\hspace{-0.02 in}n^{2+j}\hspace{-0.02 in}\right)\hspace{-0.03 in}\right)\hspace{-0.04 in}-\hspace{-0.04 in}\sqrt{\left(p\hspace{-0.04 in}\cdot \hspace{-0.06 in}\left(\hspace{.02 in}j\hspace{-0.04 in}+\hspace{-0.04 in}n^{\hspace{.04 in}j}\hspace{-0.02 in}\right)\hspace{-0.04 in}\right)\hspace{-0.06 in}\big/\hspace{-0.07 in}\left(2\hspace{-0.06 in}\cdot \hspace{-0.06 in}2\hspace{-0.06 in}\cdot \hspace{-0.04 in}p\hspace{-0.04 in}\cdot \hspace{-0.06 in}\left(\hspace{.02 in}j\hspace{-0.04 in}+\hspace{-0.04 in}n^{\hspace{.04 in}j}\hspace{-0.02 in}\right)\hspace{-0.06 in} \cdot \hspace{-0.06 in}\left(\hspace{-0.02 in}n^{(2+j)\cdot 2}\right)\hspace{-0.04 in}\right)} \; = \; \left(\hspace{-0.02 in}1\hspace{-0.04 in}\big/\hspace{-0.07 in}\left(\hspace{-0.02 in}n^{2+j}\hspace{-0.02 in}\right)\hspace{-0.03 in}\right)\hspace{-0.04 in}-\hspace{-0.04 in}\sqrt{\left(p\hspace{-0.04 in}\cdot \hspace{-0.06 in}\left(\hspace{.02 in}j\hspace{-0.04 in}+\hspace{-0.04 in}n^{\hspace{.04 in}j}\hspace{-0.02 in}\right)\hspace{-0.04 in}\right)\hspace{-0.06 in}\big/\hspace{-0.07 in}\left(2\hspace{-0.06 in}\cdot \hspace{-0.04 in}f\right)}$
$< \; \operatorname{Prob}_{\mathcal{O}}\left[A^{\mathcal{O}}(n,z^{\mathcal{O}}(n))\right]-\hspace{-0.04 in}\sqrt{\left(p\hspace{-0.04 in}\cdot \hspace{-0.06 in}\left(\hspace{.02 in}j\hspace{-0.04 in}+\hspace{-0.04 in}n^{\hspace{.04 in}j}\hspace{-0.02 in}\right)\hspace{-0.04 in}\right)\hspace{-0.06 in}\big/\hspace{-0.07 in}\left(2\hspace{-0.06 in}\cdot \hspace{-0.04 in}f\right)} \; \leq \; \operatorname{Prob}_{\mathcal{O}}\left[A^{\mathcal{P}}(n,z^{\mathcal{O}}(n))\right] \;\;\;$ ,

Для такого, что $\;\;\; 1\hspace{-0.04 in}\big/\hspace{-0.07 in}\left(\hspace{-0.02 in}n^{2+j}\hspace{-0.02 in}\right) \; < \; \operatorname{Prob}_{\mathcal{O}}\left[A^{\mathcal{O}}(n,z^{\mathcal{O}}(n))\right] \;\;\;$ :

В частности, существует $\big[$ оракул $C$ размером не более j + n $^{\hspace{.03 in}j}\big]$ а также
$\big[$ назначение длины не более f $\big]$ такой, что с этим входом и предварительной выборкой,
$A$ вероятность вывода $1$ больше, чем $1\hspace{-0.04 in}\big/\hspace{-0.07 in}\left(2\hspace{-0.06 in}\cdot \hspace{-0.06 in}\left(\hspace{-0.02 in}n^{2+j}\right)\hspace{-0.04 in}\right)$ ,
Oracle-схемы размером не более j + n $^{\hspace{.03 in}j}$ может быть представлен битами poly (n), поэтому для p ограничен
сверху полиномом от n, что означает, что f также ограничен сверху полиномом от n.
По построению $A$ это означает, что существуют схемы оракула размером не более j + n $^{\hspace{.03 in}j}$ и назначение
длины полинома таким образом, чтобы при запуске с этой предварительной дискретизацией вероятность нахождения решения цепями была больше, чем $1\hspace{-0.04 in}\big/\hspace{-0.07 in}\left(2\hspace{-0.06 in}\cdot \hspace{-0.06 in}\left(\hspace{-0.02 in}n^{2+j}\right)\hspace{-0.04 in}\right)$ , Поскольку такие схемы не могут делать запросы длиннее, чем j + n $^{\hspace{.03 in}j}$ биты, предварительно выбранные входы длиннее, чем это, можно игнорировать, поэтому такая предварительная выборка может эффективно и безошибочно моделироваться случайным оракулом и поли (n) жестко закодированными битами. Это означает, что существуют схемы оракула полиномиального размера, так что при стандартном случайном оракуле вероятность того, что схемы найдут решение, больше $1\hspace{-0.04 in}\big/\hspace{-0.07 in}\left(2\hspace{-0.06 in}\cdot \hspace{-0.06 in}\left(\hspace{-0.02 in}n^{2+j}\right)\hspace{-0.04 in}\right)$ , Такой случайный оракул в свою очередь может быть эффективно-и-отлично моделируется только с обычными случайными битами, поэтому существует полиномиального размера вероятностные не являющиеся схемы -oracle, вероятность нахождения решения больше $1\hspace{-0.04 in}\big/\hspace{-0.07 in}\left(2\hspace{-0.06 in}\cdot \hspace{-0.06 in}\left(\hspace{-0.02 in}n^{2+j}\right)\hspace{-0.04 in}\right)$ , В свою очередь, с помощью жесткого кодирования оптической случайности существуют детерминированные (неракулярные) схемы полиномиального размера, вероятность (из-за выбора x) которых может найти решение больше, чем $1\hspace{-0.04 in}\big/\hspace{-0.07 in}\left(2\hspace{-0.06 in}\cdot \hspace{-0.06 in}\left(\hspace{-0.02 in}n^{2+j}\right)\hspace{-0.04 in}\right)$ ,

Как показано ранее в этом ответе, существует бесконечно много n таких, что $1\hspace{-0.04 in}\big/\hspace{-0.07 in}\left(\hspace{-0.02 in}n^{2+j}\hspace{-0.02 in}\right) \; < \; \operatorname{Prob}_{\mathcal{O}}\left[A^{\mathcal{O}}(n,z^{\mathcal{O}}(n))\right] \;\;\;$ , $\;\;\;$ так что есть такой многочлен, что

последовательность, чья n-я запись является наименьшим лексикографическим
[контур С размера, ограниченного сверху этим полиномом], который максимизирует $\operatorname{Pr}_{x\in \{0,1\}^n}\hspace{-0.04 in}\left[\hspace{.02 in}R\hspace{-0.04 in}\left(x,\hspace{-0.04 in}C(x)\hspace{-0.03 in}\right)\hspace{-0.02 in}\right]$

является P / poly алгоритмом, вероятность которого (по выбору x) найти решение не пренебрежимо мала.

Поэтому смысл в теле моего вопроса всегда держится.

Чтобы получить то же значение для других игр полиномиальной длины, просто
измените это доказательство $A$ чтобы сделать это иметь входные схемы оракула играть в игру.