Сложность подсчета всех связанных подграфов

Пусть G связный граф.

Какова сложность подсчета всех связанных подграфов, если G имеет следующие типы?

G является общим.

Г плоская.

G является двудольным.

Я не забочусь о каких-либо структурах или ..., просто нужно сосчитать все связанные подграфы! Меня также интересует сложность подсчета всех связанных подграфов с ровно k узлами в G.

Указатели на документы и книги также приветствуются!

cc.complexity-theory graph-theory counting-complexity

— marjoonjan
источник

Знаете ли вы, что список в вопросе не отформатирован правильно? meta.cstheory.stackexchange.com/questions/300/… Если вас не интересует форматирование, это нормально. Но я не уверен, что кто-то захочет тратить время на ответ на ваш вопрос, если вы не хотите тратить время на его форматирование. (Я не говорю, что знаю ответ.)

— Tsuyoshi Ito

Кроме того, вас интересует перечисление связанных подграфов произвольного размера / порядка / структуры / ... или вы хотите, чтобы они были связующими, или что-то еще?

— Энтони Лабарр

Там, кажется, работает на подсчете связанных охватывающих подграфов. Страница 32 из "многомерного полинома Тутта" Сокаля связывает полином от охватывающего подграфа с полиномом надежности, который имеет огромную литературу

— Ярослав Булатов

Извините, мой предыдущий ответ об использовании теоремы Кирхгофа был неверным. Я думал об аргументе включения-исключения, но это может быть неосуществимо.

— 2010 года,

Этот документ не совсем то, что вы просили, но документ и его ссылки могут помочь в разработке некоторых идей.

— MS Dousti

Ответы:

Уэльс утверждает, что задача # P-завершена даже в самом ограниченном случае (считая числа связанных подграфов плоского двудольного графа). См. Стр. 305 в Welsh, Dominic (1997), «Приблизительный подсчет», « Обзоры в комбинаторике» , Bailey, RA, ed., Cambridge University Press, pp. 287–324.

В контексте, однако, мне интересно, действительно ли он имеет в виду связанные охватывающие подграфы. И это заставляет меня задаться вопросом, какую версию проблемы вы хотите: связанные охватывающие подграфы, связанные подграфы, которые не должны быть охватывающими, или связанные индуцированные подграфы?

— Дэвид Эппштейн
источник

Это ответ на ответ Дэвида. Еще не взглянув на эту книгу, я бы предположил, что проблема заключается в подсчете связанных охватывающих подграфов, потому что это точка x = 1 y = 2 полинома Тутте, и автор заинтересовался этим. Но на самом деле я думаю, что эти три проблемы довольно легко сводятся к подсчету проблемы связного связующего подграфа. Следующие сокращения должны работать для точного подсчета или приближения, хотя я думаю, что проблема для приближения все еще открыта.

Подсчет связанных охватывающих подграфов сводится к подсчету связанных подграфов (эскиз): возьмем график G, в котором мы хотим подсчитать охватывающие подграфы. Прикрепите к каждой вершине. Если выбрано достаточно большим, типичные связанные подграфы полученного графа соответствуют N-to-1 связанным остовным подграфам в G, где N легко вычислить. $K_A$ $A$

Подсчет связанных охватывающих подграфов сводится к подсчету связанных индуцированных подграфов (эскиз): пусть G будет графом, в котором мы хотим подсчитать охватывающие подграфы. Разделите каждое ребро на два, так что теперь есть | V | + | E | Вершины. Прикрепите к каждой из исходных вершин, которые были в G. Если выбран достаточно большим, типичные связные индуцированные подграфы полученного графа соответствуют N-to-1 связным остовным подграфам в G, где N легко вычислить. $K_A$ $A$

Вот еще одна интерпретация вопроса: как насчет подсчета немаркированных связанных подграфов? Это трудно даже для деревьев: Л. Голдберг и М. Jerrum, Counting немаркированные поддеревьев дерева # Р-Complete, LMS Журнал вычислений и математики, 3 (2000) 117-124. $\#P$

— Колин Маккуиллан
источник

Вам не нужно прикреплять клику, верно? Вы можете прикрепить все, что имеет много связанных подграфов, при условии, что вы прикрепляете одно и то же к каждой вершине. Таким образом, вы могли бы сделать эти сокращения, сохраняя при этом как планарность, так и двухчастность.

— Дэвид Эппштейн