Недетерминированное ускорение детерминированных вычислений

Может ли недетерминизм ускорить детерминистские вычисления? Если да, то сколько?

Под ускорением детерминированных вычислений недетерминизмом я подразумеваю результаты вида:

$\mathsf{DTime}(f(n)) \subseteq \mathsf{NTime}(n)$

Например, что-то вроде

$\mathsf{DTime}(n^2) \subseteq \mathsf{NTime}(n)$

Каков наиболее известный результат ускорения детерминированных вычислений с помощью недетерминизма? Что насчет или даже вместо $\mathsf{\Sigma^P_kTime}(n)$ $\mathsf{ATime}(n)$ $\mathsf{NTime}(n)$ ?

Предположим, что классы сложности определяются с использованием многоленточных машин Тьюринга, чтобы избежать хорошо известных особенностей одноленточных машин Тьюринга с субквадратичным временем.

— Кава
источник

(По теореме 4.1 и времени иерархии теоремы, ваш пример не может выполняться для 1-ленты ДЧ.)

Ответы:

Вы не должны ожидать захватывающего ускорения. У нас есть

D T I M E (f (n)) \subseteq N T I M E (f (n)) \subseteq A T I M E (f (n)) \subseteq D S P A C E (f (n)),

$\mathrm{DTIME}(f(n))\subseteq\mathrm{NTIME}(f(n))\subseteq\mathrm{ATIME}(f(n))\subseteq\mathrm{DSPACE}(f(n)),$

и самое известное моделирование детерминированного времени пространством - все еще теорема Хопкрофта-Пола-Валианта

D T I M E (f (n)) \subseteq D S P A C E (f (n) / \log f (n)) .

$\mathrm{DTIME}(f(n))\subseteq\mathrm{DSPACE}(f(n)/\log f(n)).$

Таким образом, не определено, что недетерминизм или чередование ускоряют более чем логарифмический фактор. (Я подозреваю, что суперлинейное ускорение также не известно, хотя я не уверен, что теорема HPV не может работать с ATIME вместо DSPACE.)

— Эмиль Йержабек поддерживает Монику
источник

Для однопленочных онлайн-машин Тьюринга это фольклор, что

N T I M E (n) \subseteq D S P A C E (\sqrt{n})

$NTIME(n) \subseteq DSPACE(\sqrt{n})$

— Майкл Вехар

Для двухленточных машин Тьюринга мы имеем

как указано выше.

D T I M E (n) \subseteq D S P A C E (n / \log (n))

$DTIME(n) \subseteq DSPACE(n/\log(n))$

— Майкл Вехар

Вопрос о многоленточных машинах Тьюринга.

— Эмиль Йержабек поддерживает Монику

Я просто хотел дать дополнительное разъяснение заинтересованному читателю.

— Майкл Вехар

Пол-Пиппенгер-Семереди-Троттер первым

для особого случая, когда

DTIME (f (n)) ⊊ NTIME (f (n))

$\text{DTIME}(f(n)) \subsetneq \text{NTIME}(f(n))$

f (n) = n

$f(n)=n$

— Андрас Саламон

Есть две разные концепции:

(1) Эффективное моделирование детерминированных машин недетерминированными машинами.

(2) Ускорение результатов, которые получены путем применения моделирования снова и снова.

Я не знаю ни одного эффективного моделирования детерминированных машин недетерминированными, но я знаю несколько ускоренных результатов, которые можно было бы использовать, если бы существовали эффективные моделирования.

Рассмотрим класс языков, которые разрешимы недетерминированной машиной Тьюринга, работающей в течение времени используя только недетерминированных догадок. Другими словами, длина свидетеля ограничена . $NTIGU(t(n), g(n))$ $t(n)$ $g(n)$ $g(n)$

Если у вас есть более эффективное моделирование, используя только $\log(n)$ недетерминированные догадки, то, я думаю, вы можете немного ускорить его. В частности, я считаю, что вы можете доказать следующее:

Если , то $DTIME(n \log(n)) \subseteq NTIGU(n, \log(n))$ . $DTIME(2^{\sqrt{n}}) \subseteq NTIME(n)$

Если вам это интересно, я могу написать доказательство.

Райан Уильямс представил некоторые связанные ускорения в «Улучшение исчерпывающего поиска подразумевает суперполиномиальные нижние границы».

— Майкл Вехар
источник

Как видите,

является довольно большим предположением, и вполне разумно, чтобы вы могли доказать, что гипотеза неверна , Дайте мне знать, если вы делаете. :)

D T I M E (n \log (n)) \subseteq N T I G U (n, \log (n))

$DTIME(n \log(n)) \subseteq NTIGU(n, \log(n))$

— Майкл Вехар

@AndrasSalamon: Как это

следует из перебора?

\subseteq

$\subseteq$

@ RickyDemer вы правы, это не так; удалили комментарии. Я неявно предполагал, что недетерминизм был в конце вычислений, но его следует предполагать в начале.

— Андрас Саламон

Обновление: Наконец-то начали записывать предложенный результат ускорения, о котором я упоминал. Похоже, это немного отличается от других результатов ускорения, которые я нашел. Пожалуйста, не стесняйтесь ответить или напишите мне, если вы заинтересованы в обсуждении. Спасибо! :)

— Майкл Вехар

обязательно взгляну, это интригующий подход.

— Саламон

Вот объяснение того, почему общее квартетическое недетерминированное ускорение детерминированных вычислений, даже если истинно, будет трудно доказать:

$\mathsf{DTime}(n^4) \subseteq \mathsf{NTime}(n)$ $\mathsf{SAT} \in \mathsf{DTime}(o(n^2/\lg n))$ $\mathsf{NTime}(n)$ $\mathsf{SAT}$ $\mathsf{DTime}(n^4) \subseteq \mathsf{DTime}(o(n^4/\lg n))$

$\mathsf{SAT}$

$\mathsf{DTime}(n^4) \subseteq \mathsf{NTime}(n) \to \mathsf{SAT} \notin \mathsf{DTime}(o(n^2/\lg n))$

$\mathsf{SAT}$

$f(n)$

$\mathsf{DTime}(f(n^2)) \subseteq \mathsf{NTime}(n) \to \mathsf{SAT} \notin \mathsf{DTime}(o(f(n)/\lg n))$

$\mathsf{SAT}$ $\mathsf{NTime}(n)$ $f(n)/\lg n$ $k\geq 2$ $\lg n$

— Кава
источник

ω (n \lg n)^{2}

$\omega(n \lg ⁡n)^2$