Новое доказательство прокачки леммы для регулярных языков

Пусть $\mathcal{L}$ - семейство всех языков над $\Sigma$ удовлетворяющих свойству накачки регулярных языков. А именно: для каждого $L\in\mathcal{L}$ существует $N\in\mathbb{N}$ st для каждого слова $w\in L$ , $|w|> N$ можно записать в виде $w=xyz$ где: 1. $|y|>0$ , 2. $|xy|\le N$ , 3. для всех i ≥ 0 .$xy^i z\in L$$i\ge 0$

Это простое упражнение [1], чтобы доказать, что содержит одноэлементные языки , и является замкнутым относительно объединения, конкатенации и звезды Клини. Также хорошо известно, что семейство регулярных языков является наименьшим из тех, которые содержат синглтоны и закрыты под объединением, конкатенацией и звездой Клини. Вывод: обычные языки удовлетворяют насосному свойству.$\mathcal{L}$$L=\{\sigma\}$$\sigma\in\Sigma$

Вопрос: кто-нибудь видел это доказательство в литературе? [1] Предложено Д. Берендом.

По существу, тот же аргумент выдвигается Андриесом П.Дж. ван дер Уолтом (1976, лемма 2.3 и пример 2.9) для варианта леммы прокачки, где букв помечены, а все три из x , y , z должны содержать помеченные буквы. См. Также Autebert, Boasson и Cousineau (1978) для получения дополнительных свойств абстрактных семейств языков, удовлетворяющих этому варианту леммы прокачки.$N$$x$$y$$z$