Ожидаемое минимальное влияние случайной булевой функции

Для булевой функции влияние й переменной определяется как где строка, полученная путем переключения го бита . Тогда минимальное влияние - это$f\colon\{-1,1\}^n \to \{-1,1\}$$i$

Учитывая параметр , мы выбираем случайную функцию , выбирая ее значение на каждом из входов независимо друг от друга случайным образом равным с вероятностью и с вероятностью , Тогда легко увидеть, что для каждого и тем болеер е 2 п 1 р - 1 1 - р я ∈ [ п ] Е F [ Инф я [ е ] ] = 2 р ( 1 - р $p\in[0,1]$$p$$f$$2^n$$1$$p$$-1$$1-p$$i\in[n]$

Мой вопрос:

Существует ли асимптотически (относительно ) плотное выражение для ? Можем ли мы получить такое выражение даже для ?$n$p = $I_n(p)$$p=\frac{1}{2}$

В частности, я забочусь о младших членах, то есть меня заинтересовал бы асимптотический эквивалент для величины .$2p(1-p)-I_n(p)$

(Следующий вопрос, который подчиняется первому, заключается в том, можно ли также получить хорошие границы концентрации вокруг этого ожидания.)

По границам Черноффа можно также показать, что каждое имеет хорошую концентрацию, так что по границе объединения мы получаем (если я не слишком плохо испортил) но это скорее всего потеря на нижней границе (из-за границы объединения) и определенно на верхней границе. (В частности, я ищу верхнюю границу, строго меньшую, чем тривиальная ).$\operatorname{Inf}_i[f]$

Обратите внимание, что одной из проблем в этом, помимо принятия минимума из одинаково распределенных случайных величин (влияний), является то, что эти случайные переменные не являются независимыми ... хотя я ожидаю, что их корреляция "довольно быстро" затухает с ,$n$$n$

(Для чего это стоит, я явно вычислил первые несколько до , и запустил симуляции для оценки следующих, до или около того. Не уверен, насколько это полезно может быть, но я могу включить это, как только я вернусь в свой офис.)$I_n(1/2)$$n=4$$n=20$

Вот шаг в правильном направлении ...

Я буду утверждать , что при , то есть 1 / 2 - I п ( 1 / 2 ) = Q , ( $p=1/2$.$1/2 - I_n(1/2) = \Omega(\sqrt{1/2^n})$

(Это не так сильно, как следовало бы. Может быть, кто-то может усилить аргумент, чтобы показать .) Вот набросок доказательства.$\Omega(\sqrt{n/2^n})$

Достаточно показать , . Мы делаем это.$1/2 - E_f[\min(\text{Inf}_1[f],\text{Inf}_2[f])] = \Omega(\sqrt{1/2^n})$

Обратите внимание , что если и Inf 2 [ е ] были полностью независимы, мы бы сделать , потому что ожидание минимум двух независимых сумм 1 / 2 - Ω ( $\text{Inf}_1[f]$$\text{Inf}_2[f]$. Во-первых, мы будем осторожно утверждать, что две суммы почти независимы.$1/2-\Omega(\sqrt{1/2^n})$

Рассмотрим вселенную точек . Назовите x и x ′ в X i- соседях, если они отличаются только i- й координатой. Скажем, два соседа вносят вклад (в Inf i [ f ] ), если f ( x ) ≠ f ( x ′ ) . (Так что Inf i [ f ] - это число способствующих $X=\{-1,1\}^n$$x$$x'$$X$ $i$$i$$\text{Inf}_i[f]$$f(x) \ne f(x')$$\text{Inf}_i[f]$$i$-соседи, разделенные на ) Обратите внимание, что если x и x ′ являются i- соседями, а y и y ′ являются i- соседями, то либо { x , x ′ } = { y , y ′ }, либо { x , x ′ } ∩ { y , y ′ } = ∅ . Следовательно, количество способствующих $2^{n-1}$$x$$x'$$i$$y$$y'$$i$$\{x,x'\}=\{y,y'\}$$\{x,x'\}\cap\{y,y'\}=\emptyset$$i$-neighbors является суммой независимых случайных величин, каждая с ожиданием 1 / 2 .$2^{n-1}$$1/2$

Разбейте вселенную на 2 n - 2 группы четвертого размера, где x и x ' находятся в одной группе, если x и x ' согласны по всем, кроме их первых двух координат. Тогда для каждой пары ( x , x ′ ) 1-соседей и каждой пары ( x , x ′ ) 2-соседей x и x ′ находятся в одной группе. Для данной группы g и i ∈ { $X$$2^{n-2}$$x$$x'$$x$$x'$$(x,x')$$(x,x')$$x$$x'$$g$ , пусть rv c g i будет числом способствующих i- соседей в g . Тогда, например, число вклад 1-соседейцелом является Σ г с г 1 , сумма 2 п - 2 независимых случайных величин, каждая в { 0 , 1 , 2 } .$i\in\{1,2\}$$c^g_i$$i$$g$$\sum_g c^g_1$$2^{n-2}$$\{0,1,2\}$

Следует отметить , что и с г ' 2 являются независимыми , если г ≠ г ' . По анализу случае, если г = г ' , совместное распределение с г 1 и с г 2 является $c^g_1$$c^{g'}_2$$g\ne g'$$g=g'$$c^g_1$$c^g_2$

Let r.v. $N=\{ g : c^g_1=c^g_2=1\}$ denote the set of neutral groups. (They contribute exactly their expected amount to the 1-influence and the 2-influence.) The number of contributing 1-neighbors is then

Conditioned on $N$, for each $g\in \overline N$ r.v.'s $c^g_1$ and $c^g_2$ are independent (by inspection of their joint distribution above), so (conditioned on $N$) all r.v.'s $\{c^g_i : i\in\{1,2\}, g\in\overline N\}$ are i.i.d. uniformly over $\{0,2\}$ so,

Finally, note that each group is neutral with probability 1/2, so $\Pr[|\overline N| \le 2^{n-2}/3]$ is extremely small, say $\exp(-\Omega(2^n))$ (and even in that case the left-hand-side above is at least $-2^n$). From this the claimed lower bound follows...