Есть ли хеш-функция для набора (то есть, множества) целых чисел, которое имеет хорошие теоретические гарантии?

Мне любопытно, есть ли способ хранить хэш из нескольких множеств целых чисел, который в идеале имеет следующие свойства:

1. Использует пространство O (1)
2. Его можно обновить, чтобы отразить вставку или удаление за время O (1).
3. Две идентичные коллекции (т. Е. Коллекции, имеющие одинаковые элементы с одинаковыми кратностями) должны всегда хэшировать одно и то же значение, а две разные коллекции должны хэшировать разные значения с высокой вероятностью (т. Е. Функция независима или попарно независима)

Первой попыткой было бы сохранить произведение по модулю случайного простого числа хешей отдельных элементов. Это удовлетворяет 1 и 2, но не ясно, удовлетворит ли это, или близкое изменение, 3.

Я первоначально отправил это на StackOverflow .

* Свойства 1 и 2 могут быть немного смягчены, скажем, до O (log n) или небольшого сублинейного полинома. Дело в том, чтобы увидеть, можем ли мы идентифицировать множественные множества и надежно проверить равенство, не сохраняя сами элементы.

Если вы думаете о множествах как о живущих во вселенной , решить проблему с помощью времени обновления довольно легко . Все, что вам нужно, это быстрая функция хеширования для вектора чисел с быстрыми «локальными обновлениями».$[u]$$O(\lg u)$$u$

Википедия / Универсальное хеширование предлагает , где - достаточно большое простое число, а равномерно взят из . Когда вы добавляете или удаляете элемент , вы должны добавить / вычесть из хеш-кода, что занимает время с использованием деления и завоевания для возведения в степень. Поскольку полином степени может иметь только корни , вероятность столкновения для двух различных множеств равна . Это можно сделать очень маленьким, если взять достаточно большим (например,$h(\vec{x}) = \big(\sum_{i=1}^{u} x_i a^i \big) \bmod{p}$$p$$a$$[p]$$i$$a^i$$O(\lg i)$$u$$u$$O(u/p)$$p$$p=u^2$а ты работаешь в "двойной точности"). Если наборы намного меньше, чем , вы, конечно, можете начать с хэширования вселенной до меньшей вселенной.$[u]$

Кто-нибудь знает решение с вероятностью столкновения при хешировании до диапазона ? Это должно быть возможно.$O(1/p)$$[p]$

Картер и Вегман освещают это в новых хэш-функциях и их использовании в аутентификации и установлении равенства ; это очень похоже на то, что вы описываете. По существу, коммутативная хеш-функция может обновляться по одному элементу за раз для вставок и удалений, а также совпадений с высокой вероятностью в O (1).

Качество хеш-функции всегда будет зависеть от свойств элементов, которые она должна хешировать. Можешь что-нибудь сказать по этому поводу? Например, предложение вашего продукта, вероятно, является плохой хеш-функцией, если элементы x_i вашего мультимножества обычно имеют много небольших простых факторов. Но вы можете улучшить его в этом случае, просто взяв произведение всех x_i + p mod q на некоторые простые числа p и q.

A = 0x4F1BBCDD
B = 0x314EFB75
A*B = 1 
N = size of set before addition/removal<P>
Add X
H = (H-N)*B
U = H >> 16
V = H & 0xFFFF
H = (((U+X)&M)<<16) + ((V^X)&M)
H *= A
H += N+1

Remove X
H = (H-N)*B
U = H >> 16
V = H & 0xFFFF
H = (((U-X)&M)<<16) + ((V^X)&M)
H *= A
H += N-1

сумма позволяет нам иметь несколько вхождений одного и того же значения,
а xor позволяет нам иметь наборы с одинаковой суммой