Разбиение прямоугольника без ущерба для внутренних прямоугольников

$C$ - параллельный оси прямоугольник.

$C_1,\dots,C_n$$C_1\cup\dots\cup C_n \subsetneq C$

Прямоугольник , сохраняющее разбиение на разбиение C = E_1 \ чашка \ ДоТы \ чашка E_N , таким образом, что N \ GEQ п , то e_i попарно-салона непересекающейся оси параллельных прямоугольников, и для каждого I = 1, \ точек , n : C_i \ subseteq E_i , то есть каждый существующий прямоугольник содержится в уникальном новом прямоугольнике, например:$C$ N ≥ n E i i = 1 , … , n C i ⊆ E $C = E_1\cup\dots\cup E_N$$N\geq n$$E_i$$i=1,\dots,n$$C_i \subseteq E_i$

Что такое алгоритм для поиска сохраняющего прямоугольник раздела с небольшим $N$ ?

В частности, существует ли алгоритм для нахождения сохраняющего прямоугольник разбиения с $N=O(n)$ частями?

НОВЫЙ ОТВЕТ: следующий простой алгоритм асимптотически оптимален:

Растяните каждый из прямоугольников произвольно, насколько это возможно, чтобы прямоугольники оставались попарно непересекающимися.$C_i$

Количество отверстий не более . Это асимптотически оптимально, поскольку существуют конфигурации, в которых число отверстий составляет не менее .$k-2$$k-O(\sqrt k)$

Доказательства в этой статье .

СТАРЫЙ ОТВЕТ:

Следующий алгоритм, хотя и не является оптимальным, по-видимому, достаточен для нахождения сохраняющего прямоугольник разбиения с частями.$N=O(n)$

Алгоритм работает с прямолинейным многоугольником , который инициализирован в прямоугольнике .$P$$C$

Фаза 1: Выберите прямоугольник который примыкает к западной границе (то есть, нет другого прямоугольника между западной стороной и западной границей ). Место в и растягивать его , пока он не коснется западная границы . Пусть (для ) - растянутая версия . Пусть . Repeate Фаза 1 раз , пока все$C_i$$P$$C_j$$C_i$$P$$C_i$$P$$P$$E_i$$i=1,\dots,n$$C_i$$P=P\setminus E_i$$n$$n$Оригинальные прямоугольники размещаются и растягиваются. На изображении ниже возможный порядок размещения прямоугольников: :$C_1,C_2,C_4,C_3$

Теперь является прямолинейным многоугольником (возможно, отключенным), например так:$P$

Я утверждаю, что число вогнутых вершин в не больше . Это потому, что всякий раз, когда вытянутый прямоугольник удаляется из , есть 3 варианта:$P$$2n$$P$

• Добавлены 2 новые вогнутые вершины (как при размещении );$C_1,C_4$
• 3 новые вогнутые вершины добавлены и 1 удалена (как с );$C_3$
• Добавлены 4 новые вогнутые вершины и 2 удалены (как с ).$C_2$

Этап 2. Разделение на прямоугольные оси, используя существующий алгоритм (см. Обзор Keil 2000, страницы 10-13 и Eppstein 2009, страницы 3-5 ).$P$

Кейл приводит теорему, которая гласит, что число прямоугольников в минимальном разбиении ограничено 1 + количеством вогнутых вершин. Следовательно, в нашем случае число не больше , а общее количество прямоугольников в разбиении равно .$2n+1$$N\leq 3n+1$

Этот алгоритм не является оптимальным. Например, в приведенном выше примере это дает то время как оптимальное решение имеет . Таким образом, остаются два вопроса:$N=13$$N=5$

А. Является ли этот алгоритм правильным?

B. Существует ли алгоритм полиномиального времени для нахождения оптимального или хотя бы лучшего приближения?$N$