Оценка симметрических полиномов

Пусть - симметрический многочлен , т. Е. Такой многочлен, что для всех и все перестановки . Для удобства можно предположить, что является конечным полем, чтобы избежать решения проблем с моделью вычислений.$f:\mathbb{K}^n \to \mathbb{K}$x ∈ K n σ ∈ S n $f(x)=f(\sigma(x))$$x \in \mathbb{K}^n$$\sigma \in S_n$$\mathbb{K}$

Пусть обозначает сложность вычисления , т. Е. Сложность алгоритма, который при заданном возвращает . Можем ли мы как-то охарактеризовать , основываясь на свойствах ? Например, мы гарантируем, что является полиномом (по ) для всех симметрических полиномов ?f x f ( x ) C ( f ) f C ( f ) n $C(f)$$f$$x$$f(x)$$C(f)$$f$$C(f)$$n$$f$

В особом случае это выглядит так: (а) мы можем вычислить полиномы степенной суммы во времени , и (b) мы можем вычислить элементарные симметричные полиномы во времени , используя тождества Ньютона . Как следствие, если является взвешенной суммой мономов, где ни одна переменная не возводится в степень, превышающую 1 (т. Е. Если является мультилинейной), то f можно вычислить за полиномиальное время (поскольку ее можно выразить как взвешенную сумму элементарных симметрических полиномов). Например, когда K = G F ( 2 )$\text{poly}(n)$$\text{poly}(n)$$f$$f$$f$$\mathbb{K}=GF(2)$тогда любой симметрический полином может быть вычислен за полиномиальное время. Можно ли сказать что-то большее, чем это?

Вопрос кажется довольно открытым. Или, возможно, вы хотите получить точную характеристику сложности времени любого возможного симметрического полинома над конечными полями?

В любом случае, по крайней мере, насколько мне известно, есть несколько хорошо известных результатов о сложности времени вычисления симметричных полиномов:

1. Если - элементарный симметрический многочлен над конечным полем, то его можно вычислить с помощью однородных цепей T C 0 полиномиального размера .$f$$TC^0$

2. Если - элементарный симметрический многочлен над характеристическим полем 0 , то он может быть вычислен с помощью трех однородных алгебраических схем глубины полиномиального размера (как вы уже упомянули многочлен Ньютона; или с помощью интерполяционной формулы Лагранжа); и поэтому я считаю, что это затем переводит в однородные логические схемы полиномиального размера (хотя, возможно, не постоянной глубины) (но это может зависеть от конкретной области, в которой вы работаете; для простоты вы можете рассмотреть кольцо целых чисел, хотя для я предполагаю, что целых чисел T C 0 достаточно для вычисления симметрических полиномов в любом случае.)$f$$0$$TC^0$

3. Если - симметрический многочлен над конечным полем, то существует экспоненциальная нижняя оценка глубины трех алгебраических схем для f (по Григорьеву и Разборову (2000) [по Григорьеву и Карпинскому, 1998]). Но, как упомянуто в 1 выше, это соответствует только нижним границам булевой схемы постоянной глубины (в то время как в T C 0 есть небольшие однородные булевы схемы ; это означает также, что многочлены вычислимы за полиномиальное время). $f$$f$$TC^0$

Вероятно, есть более известные результаты о временной сложности симметрического полинома ...