Улучшение общего сокращения Кука для Clique to SAT?

Я заинтересован в уменьшении клика до SAT, не делая экземпляр намного больше.$k$

Клика находится в NP, поэтому ее можно уменьшить до SAT, используя логарифмическое пространство. Простое сокращение учебника Garey / Johnson увеличивает размер экземпляра до кубического размера. Тем не менее, Клик находится в P для каждого фиксированного k, так что «должно быть» эффективное снижение, по крайней мере, для фиксированного k .$k$$k$$k$

Одним из способов создания сокращения является использование переменных SAT в качестве характеристического вектора , для переменной которого установлено значение true, указывающее, что связанная вершина находится в клике. Это уменьшение является естественным, но создает экземпляр SAT квадратичного размера, если график разрежен. Для разреженного графа требуется квадратично много предложений для обеспечения того, чтобы в каждой паре несмежных вершин в клике могла находиться не более одной вершины.

Давайте попробуем сделать лучше, чем .$O(n^2)$

Общее сокращение Cook / Schnorr / Pippenger / Fischer работает, сначала принимая ограниченный по времени NDTM, который определяет язык, моделируя NDTM с помощью забывающего DTM, моделируя забывающий DTM с помощью схемы, а затем моделируя схему с помощью 3 -SAT экземпляр. Это создает экземпляр 3-SAT размером если временная граница NDTM равна t ( n ) . Коэффициент логарифма кажется неизбежным из-за накладных расходов при моделировании забытой машиной. Для k- клика, кажется, есть t $O(t(n)\log t(n))$$t(n)$$k$ , что дает экземпляр 3-SAT размером O ( n k ( log n + log k ) ) , который являетсяквазилинейнымдля фиксированного k . В своей статье 1988 года Кук спросил, существует ли лучшее общее сокращение для языков в NP, и, насколько я знаю, это все еще открыто. Тем не менее, Clique имеет много структуры, поэтому, возможно, в этом случае можно добиться большего.$t(n) = O(nk)$$O(nk(\log n + \log k))$$k$

Известно ли лучшее сокращение от Clique до SAT?

В частности, возможно ли для фиксированного уменьшить k -Clique до SAT, сохраняя при этом увеличение размера экземпляра линейным? Или можно использовать существующий результат, чтобы доказать, что это вряд ли возможно? Я пытался использовать Fortnow / Santhanam и Dell / van Melkebeek, но накладные расходы кажутся слишком большими для этих результатов, чтобы подразумевать что-то конкретное.$k$$k$

(Я работал с сокращением, которое, по-видимому, избегает логарифмического фактора, но прежде чем тратить больше времени на кровавые подробности, чтобы проверить его правильность, я хотел бы знать, известно ли уже такое сокращение или маловероятно, что существовать.)

Вы можете выразить -clique как экземпляр SAT с O ( n k ) переменными и O ( n k 2 ) предложениями. Для фиксированного k это линейно по n .$k$$O(nk)$$O(nk^2)$$k$$n$

Пусть если v - это i- я вершина в клике (по лексикографически отсортированному порядку). Другими словами, x i - это «горячая» кодировка i- й вершины в клике (это характеристический вектор для множества с одним элементом). Это вводит n k переменных.$x_{iv}=1$$v$$i$$x_i$$i$$nk$

Теперь для каждого вы можете убедиться, что соответствующие две вершины соединены ребром, используя n предложений. например, одно предложение ( ¬ x i u ∨ x j v 1 ∨ ⋯ ∨ x j v m ), где v 1 , … , v m - вершины, смежные с вершиной u . Вы получаете одно предложение на вершину u . Это вводит в общей сложности O ( n $(i,j)$$n$$(\neg x_{iu} \lor x_{jv_1} \lor \dots \lor x_{jv_m})$$v_1,\dots,v_m$$u$$u$ пункты.$O(nk^2)$

Для каждого вы можете принудительно установить, что x i является вектором веса Хэмминга 1 и что x i < x i + 1 , используя предложения O ( n ) . Это добавляет в общей сложности O ( n k ) больше предложений.$i$$x_i$$x_i < x_{i+1}$$O(n)$$O(nk)$

Можно было бы сделать лучше, используя переменных для представления вершин в клике ( lg n битов достаточно для представления i- й вершины в клике), а затем построив схему, чтобы проверить, соответствует ли набор из k вершин клика Один из подходов к построению такой схемы может состоять в том, чтобы построить список всех k ( k - 1 ) / 2 пар этих вершин в отсортированном порядке, а затем сравнить его со списком ребер, используя процедуру Merge из Mergesort или что-то вроде который. Может быть возможно получить что-то вроде O ( ( $k \lg n$$\lg n$$i$$k$$k(k-1)/2$ схема poly ( lg n ) ) , которая затем преобразуется в экземпляр SAT того же размера (где m = количество ребер в графе). Я не пытался проработать детали, чтобы понять, возможно ли это на самом деле.$O((n+m+k^2) \text{poly}(\lg n))$$m =$