Количество срезов графа без использования алгоритма Каргера

Мы знаем, что алгоритм mincut Каргера может быть использован, чтобы доказать (неконструктивно), что максимальное число возможных срезов, которые может иметь граф, равно $n \choose 2$ .

Мне было интересно, можем ли мы как-то доказать эту идентичность, дав биективное (довольно инъективное) доказательство от набора минутных чисел до другого набора мощности $n \choose 2$ . Никаких конкретных причин, это просто любопытство. Я пытался сделать это самостоятельно, но пока не добился успеха. Я бы не хотел, чтобы кто-то тратил время на это, и поэтому, если вопрос кажется бессмысленным, я бы попросил модераторов принять соответствующие меры.

Бест -Акаш

$\binom{n}{2}$ связан я думаю первоначально был доказан Диниц, Карзанов и Ломоносова в 1976 г. в «структуре А для системы всех минимальных разрезов графа». Возможно, вы можете найти то, что вы ищете в этой статье, но я не уверен, что это онлайн.

Неформально можно утверждать, что для того, чтобы иметь максимальное количество минимальных разрезов, все узлы в графе должны иметь одинаковую степень.

Пусть разрез делит граф на два набора узлов и таких что . Пусть число минимальных разрезов в графе обозначено как .$G$$C$$\bar C$$C \cap \bar C=\emptyset$$mc(G)$

Рассмотрим связный граф с вершинами, в котором каждая вершина имеет степень два. Это должен быть график цикла, и минимальное сечение составляет два ребра. Очевидно, что разрезание любых двух краев приведет к разрезу, и такой разрез является минимальным разрезом. Поскольку существует различных пар ребер, существует минимальных разреза.$n$$n(n-1)/2$$n(n-1)/2$

Создайте новый график, удалив ребро из графика цикла. Минимальный разрез нового графа равен одному ребру, и достаточно отрезать любое ребро: существует таких разрезов, которые можно сделать.$n-1$

Создайте новый граф, добавив ребро в граф цикла. Теперь два узла имеют степень три, а узла имеют степень два. Степень три узла должны оба принадлежат к или оба принадлежат . Следует отметить , что в случае графа цикла, никаких узлов не были ограничены появляться вместе в или . Подразумевается, что добавление ребра добавляет ограничение, которое уменьшает количество минимальных вырезов.$n-2$$C$$\bar C$$C$$\bar C$

Повышение числа узлов до третьей степени добавляет дополнительные ограничения вплоть до точки, где имеется только один минимальный разрез второй степени.

Вышеизложенное показывает, что график цикла является (по меньшей мере) локальным максимумом .$mc$

Рассмотрим множество графов, в которых каждый узел имеет степень три. Удаление ребра дает график с одним минимальным разрезом из двух. Добавление ребра, как указано выше, приводит к появлению двух узлов, которые чаще всего появляются на одной стороне разреза.

Это говорит о том, что графики, в которых каждый узел имеет степень являются локальными максимумами . Отмечая, что полный граф имеет срезов размера предположить, что это убывающая функция.$k$$mc$$mc=n$$n-1$

Я не слишком задумывался над тем, можно ли формализовать вышесказанное, но это представляет собой возможный подход.

Кроме того, я думаю, что статья Биксби, которую Джелани Нельсон упоминает в комментарии к своему ответу , озаглавлена ​​«Минимальное количество ребер и вершин в графе с связностью ребер n и M n-связей» ( ссылка )