Гипотеза: все FPT-NP-полные языки являются фиксированными параметрами-изоморфными

Гипотеза Бермана – Хартманиса: все NP-полные языки выглядят одинаково в том смысле, что они могут быть связаны друг с другом полиномиальными изоморфизмами времени [1].

Меня интересует более мелкозернистая версия «полиномиального времени», то есть, если мы используем параметризованные сокращения.

Параметризованная задача - это подмножество , где - конечный алфавит, а - множество неотрицательных чисел. Таким образом, экземпляром параметризованной задачи является пара , где - параметр. $Σ^∗ × Z \geq 0$ $Σ$ $Z\geq 0$ $(I, k)$ $k$

Параметризованная задача является приводимым с фиксированными параметрами к параметризованной задаче если существуют функции , : , и полином такие , что для любого экземпляра из , $π_1$ $π_2$ $f$ $g$ $Z≥0 → Z≥0$ $Φ : Σ∗ × Z≥0 → Σ^∗$ $p(·)$ $(I, k)$ $π_1$ является экземпляром вычислимым за время и тогда и только тогда, когда $(Φ(I, k), g(k))$ $π_2$ $f(k) · p(|I|)$ $(I, k) ∈ π_1$ $(Φ(I, k), g(k)) ∈ π_2$ , Две параметризованные задачи эквивалентны с фиксированными параметрами, если они сводимы с фиксированными параметрами друг к другу.

Некоторые NP-полные задачи являются FPT, например, решающая версия задачи покрытия вершин NP-Complete, она имеет алгоритм [2]. Нахождение лучших сокращений с фиксированными параметрами задачи FPT, которая является NP-Complete, может привести к лучшему алгоритму, например, вызывая сокращение к «версии с гарантией выше» задачи Multiway Cut, может привести к алгоритму во времени для задачи AGVC (покрытие вершины над гарантией) [3], которая лучше, чем исходный алгоритм [4]. $O(1.2738^k + kn)$ $O^*(4^k)$ $O^*(15^k)$

$\textbf{My Conjecture: All FPT NP-complete languages are fixed-parameter-isomorphic.}$

Это предположение верно?

[1] Berman, L .; Хартманис, J. (1977), «Об изоморфизмах и плотности NP и других полных наборов», SIAM Journal of Computing 6 (2): 305–322.

[2] Дж. Чен, И. А. Кандж и Г. Ся, Улучшенные верхние границы для покрытия вершин, Theor.Comput. Sci., 411 (2010), с. 3736-3756.

[3] М. Сиган, М. Пилипчук, М. Пилипчук, Ю. О. Войтащик. О параметрированном многомерном разрезе выше нижних границ, в IPEC, 2011.

[4] М. Махаджан и В. Раман, Параметризация выше гарантированных значений: Maxsat и maxcut, J. Algorithms, 31 (1999), pp. 335-354.

complexity-classes np-complete fixed-parameter-tractable

— Рупей Сюй
источник

Я не понимаю, что вы подразумеваете под "FPT NP-complete language". Нет естественного представления о том, что язык сам по себе является FPT; вопрос в том, является ли пара язык / параметр FPT.

— Гек Беннетт

Обратите внимание, что сокращение с фиксированным параметром может просто решить проблему FPT и вывести тривиальный вариант Да / Нет целевой задачи.

— Серж Гасперс

Серж Гасперс уже упоминал, почему ваша гипотеза тривиальна.
Однако на самом деле можно получить изоморфизмы с фиксированным параметром за полиномиальное время ,
которые, как я теперь понимаю, не намного менее тривиальны, поскольку они применимы к каждой
упорядоченной паре нетривиальных задач FPT с сокращением в обычном смысле.

$c$ $\pi_1$
$Y$ $N$ $\pi_2$
$\pi_1$ $\pi_2$

$\pi_1$ $n^{\hspace{.02 in}c}$
$Y$ $N$
$\pi_1$ $\pi_2$

$\:$ $c$ $\pi_1$ $k$ $n$ $n^{\hspace{.02 in}c}$ $\:$ $k$ $\:$ Поэтому он удовлетворяет вашему условию с фиксированными параметрами.