Гек, как указывали Лэнс и Робин, у нас есть оракулы, относительно которых PH нет в PP. Но это не отвечает на ваш вопрос, какова была ситуация в «реальном» (нерелятивизированном) мире!
Короткий ответ: (как и во многих других случаях в теории сложности) мы не знаем.
Но более длинный ответ состоит в том, что есть очень веские основания предполагать, что действительно PH ⊆ PP.
Во-первых, теорема Тоды подразумевает PH ⊆ BP.PP, где BP.PP - это класс сложности, который «относится к PP, а BPP к P» (другими словами, PP, где вы можете использовать рандомизацию, чтобы решить, какое вычисление MAJORITY вы хотите выполнить. выполнения). Во-вторых, при вероятных гипотезах дерандомизации (аналогичных тем, которые, как известно, подразумевают P = BPP, по Нисану-Вигдерсону, Импальяццо-Вигдерсону и т. Д.), Мы имели бы PP = BP.PP.
Приложение, чтобы ответить на ваши другие вопросы:
(1) Я бы сказал, что в любом случае у нас нет убедительной интуиции в вопросе о том, PP = P PP . Мы знаем из результатов Beigel-Reingold-Spielman и Fortnow-Reingold, что PP закрыт при неадаптивных (таблица истинности) сокращениях. Другими словами, машина P, которая может делать параллельные запросы к оракулу PP, не более мощна, чем сам PP. Но тот факт, что эти результаты полностью разбиваются на адаптивные (непараллельные) запросы к оракулу PP, говорит о том, что, возможно, последние действительно более мощные.
(2) Аналогично, NP PP и coNP PP могут быть еще более мощными, чем P PP . И PP PP может быть еще более мощным, и так далее. Последовательность P, PP, P PP , PP PP , P PP ^ PP и т. Д. Называется счетной иерархией , и как люди предполагают, что PH бесконечен, так и можно предположить (хотя, возможно, с меньшей уверенностью!), Что CH бесконечен. Это тесно связано с убеждением, что в пороговых схемах с постоянной глубиной (т. Е. В нейронных сетях) добавление большего количества слоев пороговых элементов дает вам больше вычислительных возможностей.