Проверка эквивалентности двух многогранников

14

Рассмотрим вектор переменных и набор линейных ограничений, заданных как . $\vec{x}$ $A\vec{x}\leq b$

Кроме того, рассмотрим два многогранника

\begin{aligned} P_{1} & = {(f_{1} (\vec{x}), \dots, f_{m} (\vec{x})) ∣ A \vec{x} \leq b} \\ P_{2} & = {(g_{1} (\vec{x}), \dots, g_{m} (\vec{x})) ∣ A \vec{x} \leq b} \end{aligned}

$\begin{align*} P_1&=\{(f_1(\vec{x}), \cdots, f_m(\vec{x}))\mid A\vec{x}\leq b\}\\ P_2&=\{(g_1(\vec{x}), \cdots, g_m(\vec{x}))\mid A\vec{x}\leq b\} \end{align*}$

где «ы и » ы являются аффинные отображения. А именно, они имеют вид . (Отметим, что и являются многогранниками, потому что они являются «аффинными отображениями» многогранника .) $f$ $g$ $\vec{c}\cdot \vec{x} +d$ $P_1$ $P_2$ $A\vec{x}\leq b$

Вопрос в том, как решить, равны ли и как множества? В чем сложность? $P_1$ $P_2$

Мотивация проблемы связана с сенсорными сетями, но она кажется прекрасной (возможно, базовой?) Геометрической проблемой. Это можно решить в exptime, возможно, перечислив все вершины и , но есть ли лучший подход? $P_1$ $P_2$

— Maomao
источник

2

Что вы подразумеваете под эквивалентностью двух многогранников? Мне сразу приходят в голову три интерпретации: равные как множества, аффинно эквивалентные и комбинаторно эквивалентные. Два существующих ответа предполагают разные интерпретации.

— Цуёси Ито

Я имею в виду равные как наборы.

— Maomao

Пожалуйста, отредактируйте вопрос, чтобы включить это разъяснение. Не оставляйте это в комментариях. Вопросы должны быть автономными: людям не нужно читать комментарии, чтобы понять, что вы спрашиваете. Спасибо.

— DW

12

Я не могу с уверенностью сказать, считаете ли вы следующий подход лучшим, но с точки зрения теории сложности существует более эффективное решение. Идея состоит в том, чтобы перефразировать ваш вопрос в теории рациональных порядков первого порядка с добавлением и порядком. У вас есть то, что входит в тогда и только тогда, когда $P_1$ $P_2$ . Понятно, как вывести эквивалентностьитаким же образом. Теперьимеет префикс фиксированного квантификатора-чередование, и, следовательнов разрешимом, второй уровень иерархии полиномиального времени (Сонтаг, 1985

\begin{aligned} Φ := \forall \vec{x} . \exists \vec{y} . (A \cdot \vec{x} \leq b ⟹ (A \cdot \vec{y} \leq b \land \underset{1 \leq i \leq m}{⋀} f_{i} (\vec{x}) = g_{i} (\vec{y}))) \end{aligned}

$\begin{align*} \Phi := \forall \vec{x}.\exists \vec{y}.\left( A \cdot \vec{x} \le b \implies \left( A \cdot \vec{y} \le b \wedge \bigwedge_{1\le i\le m} f_i(\vec{x}) = g_i(\vec{y}) \right)\right) \end{align*}$

P_{1}

$P_1$

P_{2}

$P_2$

Φ

$\Phi$

Π_{2}^{P}

$\Pi_2^\text{P}$ ). Я довольно уверен, что можно также доказать соответствие нижней границы, я вспоминаю, что где-то читал, что включение между двумя многогранниками является

-твердым.

Π_{2}^{P}

$\Pi_2^\text{P}$

Если вы ищете инструментальную поддержку для решения таких проблем на практике, современные SMT-решатели, такие как z3, полностью поддерживают эту теорию.

— Кристоф Хааз
источник

5

$Ax \le b$ $P_1$ $P_2$ $A$ $b$ $A$ $b$

— Денис Панкратов
источник

2

Я не думаю, что этот аргумент работает - он игнорирует размер симплекса, указанный в приведенной теореме. (х является частью входных данных, поэтому при любом сокращении необходимо убедиться, что оно ограничено полиномами)

— Колин Маккуиллан

Хорошая точка зрения! Похоже, что мое утверждение еще должно пройти, но мы должны углубиться в доказательство в статье, которую я привел. Начиная с графа, они строят многогранник, такой, что два графа изоморфны тогда и только тогда, когда соответствующие многогранники изоморфны. Их многогранники имеют полиномиальное количество вершин, а описания их вершин могут быть вычислены за полиномиальное время. Таким образом, мы можем считать (A, b) симплексом в измерении, представляющем собой число вершин, а f - аффинной проекцией, дающей многогранник, который можно получить из описания вершины.

— Денис Панкратов