Минимальный эквивалент орграфа относительно источников и стоков

Учитывая ДАГ (ориентированный ациклический граф) , с источником и раковины . Найдите DAG с источниками и приемниками с минимальным количеством ребер таким образом, чтобы: $D$ $S$ $T$ $D'$ $S$ $T$

Для всех пар существует путь от до в тогда и только тогда, когда существует путь от до в . $u \in S, v \in T$ $u$ $v$ $D$ $u$ $v$ $D'$

Одним из применений этого является представление набора семейства группой DAG. Для такого представления каждый источник является переменной в юниверсе, и каждый приемник является набором из семейства наборов, а элемент u находится в наборе S тогда и только тогда, когда существует путь от вершины, представляющей u, до вершины, представляющей набор S.

Эта проблема хорошо известна? Есть ли полиномиальный алгоритм для этой проблемы?

graph-theory graph-algorithms

— Мартин Ватшелле
источник

Я думаю, что решение должно быть подграфом исходного графа, верно? Если да, я думаю, что эта проблема захватывает Set Cover, через стандартное сокращение, которое показывает, что Directed Steiner Tree сложно: создать вершину для каждого элемента, вершину для каждого набора и направленное ребро (S, u), если множество S содержит элемент u. Затем добавьте новую вершину и ребра от нее ко всем заданным вершинам. Существует путь от этой новой вершины ко всем приемникам (вершинам элементов). Чтобы сохранить все из них, мы должны выбрать минимальное количество установленных вершин, которое охватывает все элементы.

— Майкл Лэмпис

Нет, вообще я бы сказал, что это не должно быть подграфом исходного графа. Источники - это элементы, и они нужны для элемента тогда и только тогда, когда некоторый набор содержит этот элемент. Раковины - это наборы, и вы не можете удалить наборы, которые должны представлять, поэтому единственное, что можно сделать, если начать с наивного графа, где все узлы являются либо приемниками, либо источниками, - это добавить вершины и переместить / удалить ребра.

— Мартин Ватшелле

Проблема пока не определена. Каковы ограничения на множество вершин

? Вы требуете, чтобы вершина множества

такой же , как множество вершин

? Что источники и поглотители

такие же, как источники и поглотители

? Что существует функция

отображающая вершину

в вершину

, и на самом деле условие состоит в том, что существует путь от

до

если существует путь из

D^{'}

$D'$

D^{'}

$D'$

D

$D$

D^{'}

$D'$

D

$D$

f : V_{D} \to V_{D^{'}}

$f:V_D \to V_{D'}$

D

$D$

D^{'}

$D'$

u

$u$

v

$v$

D

$D$

до

? Каждый из них может привести к немного другой проблеме. Изменить вопрос, чтобы уточнить?

f (u)

$f(u)$

f (v)

$f(v)$

D^{'}

$D'$

— DW

Я уточнил вопрос, действительно я имею в виду, что источники и приемники одинаковы. Я думаю, что сопоставление довольно близко к одному и тому же, единственный способ сопоставить два приемника с одним и тем же узлом, если они достижимы из одного и того же набора источников, то есть представляют один и тот же набор. Единственный способ, которым два источника могут быть сопоставлены одному и тому же узлу, - это если они достигают абсолютно одинаковых приемников. Поэтому я думаю, что после некоторой простой предварительной обработки D проблемы будут эквивалентны.

— Мартин Ватшелле

Дага D на самом деле не имеет отношения к проблеме, не так ли? Вы также можете взять двудольный граф между S и T в качестве входных данных.

— Эмиль Йержабек

Предположим, что содержит только источники и приемники, поскольку входные данные могут быть легко переведены в эквивалентный входной. $D$

$D'$ $D$ $v$ $G$ $D$ $v$ $D'$ $v$ $D'$

$D'$ $G$ $D'$ $G$

Обратите внимание, что даже если моя гипотеза верна, технически этот аргумент не доказывает NP-сложность вашей проблемы, поскольку сокращение - это не уменьшение Карпа, а уменьшение Кука.

— IGEL
источник