Полнота при инъективных сокращениях Карпа

Сокращение Карпа - это вычисляемое многочленное сокращение многочлена за полиномиальное время между двумя вычислительными задачами. Многие сокращения Карпа на самом деле являются функциями «один-один». В связи с этим возникает вопрос, является ли каждое редукция Карпа инъективной (однозначная функция).

Существует ли естественная полная проблема, которая, как известно, завершается только при многократном сокращении Карпа и не является полной при инъективном уменьшении Карпа? Что мы получим (и потеряем), если определим полноту с помощью инъективного сокращения Карпа? $NP$ $NP$

Одно очевидное преимущество состоит в том, что разреженные множества не могут быть полными при инъективных сокращениях Карпа.

cc.complexity-theory

— Мухаммед Аль-Туркистани
источник

Почему Karp использовал сокращение полинома много-один вместо сокращений один-один? Был ли он под влиянием сокращений, используемых в теории вычислимости?

— Мохаммад Аль-Туркистани

Я думаю, что уже как-то затронул этот (или очень тесно связанный) вопрос в комментарии к этому ответу: cstheory.stackexchange.com/a/172/129 .

— Джошуа Грохов

@JoshuaGrochow Инъективность дает нам нижнюю границу плотности жестких множеств. Вам известно о какой-либо NP-полной проблеме, которая, как известно, не является полной при инъективных сокращениях Карпа? Пожалуйста, рассмотрите возможность размещения вашего комментария в качестве ответа.

— Мухаммед Аль-Туркистани

Ответы:

Вот ответ на частный случай, когда мы ограничимся случаем, когда сокращение Карпа можно также сделать увеличивающим длину , а также сделав его инъективным. (Увеличение длины означает, что , где - функция, представляющая сокращение.) $|f(x)|>|x|$ $f$

Утверждение: Если каждое сокращение Карпа в можно преобразовать в инъективное и увеличивающее длину, то имеет место. $NP$ $P\neq NP$

Доказательство. Предположим, что каждое сокращение Карпа в можно преобразовать в инъективное и увеличивающее длину. Тогда есть две возможности: $NP$

$NP$ $p$ $P\neq NP$
$P\neq NP$

$P\neq NP$

— Андрас Фараго
источник

Обратная функция увеличения длины - уменьшение длины . Или я что-то упустил?

— Эмиль Йержабек

Кроме того, подразумевает ли p-изоморфизм NP-полных задач P! = NP по тривиальной причине того, что одноэлементный язык не изоморфен двухэлементному языку, или он более сложный? Если вы разрешаете ограниченные языки, утверждение имеет простое прямое доказательство и нуждается только в инъективности: а именно, одноэлементный язык является NP-полным при сокращениях много-один, если P = NP, но не может быть NP-полным при одном одно сокращение.

— Эмиль Йержабек

Почему мы должны настаивать на инъективных сокращениях вместо этого? Кажется, что инъективность никак не связана с целью сокращения, поэтому естественный выбор - не требовать этого. Можно наложить много других произвольных ограничений, но какой в этом смысл?

— Эмиль Йержабек

Почему конечные множества не должны быть NP-полными, когда P = NP? Обратите внимание, что в этой ситуации другие глупые множества являются NP-полными даже при сокращениях один-один, таких как набор всех нечетных двоичных чисел.

— Эмиль Йержабек

@JoshuaGrochow Нам не нужно получать обратное сокращение от обратного, чтобы позаботиться об обратном durection. Если мы возьмем два NP-полных языка, у них обоих будет сокращение Карпа к другому (но эти сокращения, как правило, не противоположны друг другу). Если теперь мы предположим, что любую редукцию Карпа можно сделать inv, li, то получим редукцию inv, li в обоих направлениях, поэтому по приведенной теореме они могут быть преобразованы в p-изоморфизм.

— Андрас Фараго

$\mathsf{NP}$ $\mathsf{NP}$

На самом деле, даже потенциальные «неестественные» контрпримеры к гипотезе об изоморфизме - k-креативные множества из теоремы 2.2 Джозефа и Юнга - полны по построению один-один.

[Повторяется из моего комментария здесь :] Поскольку большинство сокращений «многие-один», которые мы строим, на самом деле являются сокращениями «один-один», почему бы нам не изучить их, когда они формально сильнее, и в любом случае мы получаем их большую часть времени? Я думаю, потому что проще не беспокоиться о доказательстве инъективности, хотя у нас это обычно бывает. В этом смысле, возможно, сокращение «один-один» является своего рода «сокращением Златовласки»: просто правильная сила, просто правильная простота доказательства.

— Джошуа Грохов
источник

Есть ли интуитивное объяснение творческого подхода?

— Мухаммед Аль-Туркистани

Спасибо за ответ. Я хотел бы принять два ответа.

— Мохаммад Аль-Туркистани

На самом деле, инъекционные сокращения полезны в криптографии. Предположим, у вас есть система доказательства ZK для отношения NP R на языке L. Если вы хотите построить доказательство ZK для другого отношения NP R 'на языке L', вам нужно найти две функции f и g со следующими свойствами. : 1. x принадлежит L 'тогда и только тогда, когда f (x) принадлежит L, 2. Если (x, w) принадлежит R', то (f (x), g (x, w)) принадлежит R. 3. Более того , f и g должны быть эффективно вычисляемыми.

Приведенные выше свойства подразумевают, что если система доказательств для R полна и надежна, система доказательств для R '(определенная очевидным образом с использованием вышеуказанных функций для уменьшения случаев отношения к другой) также является полной и надежной.

Как насчет того, чтобы доказать, что новая система также ZK или не различима свидетелем (WI)? Если f обратимо, вы можете доказать, что полученная таким образом система доказательств ZK. В противном случае, чтобы доказать, что вы должны предположить, что система доказательства для R - это вспомогательный вход ZK (а не просто ZK). Для WI, если f обратим, вы можете доказать, что система доказательств для R 'является WI. Без факта, что f обратимо, я не уверен, что вы можете доказать, что

— Винченцо ИОВИНО
источник