Перестановки с запрещенными подпоследовательностями

Обозначим через множество а через C (n, k) - множество всех комбинаций элементов из без повторения. Пусть - кортеж в . Мы говорим, что перестановка из набора избегает если нет k-кортежа целых чисел такого что $[n]$ $\{1,...,n\}$ $k$ $[n]$ $p= p_1p_2...p_k$ $k$ $C(n,k)$ $\pi:[n]\rightarrow [n]$ $[n]$ $p$ $i_1<i_2<...<i_k$

π (я_{1}) знак равно п_{1}, π (я_{2}) знак равно п_{2},,,,, π (я_{К}) знак равно п_{К},

$\pi(i_1) = p_1, \;\;\pi(i_2)=p_2,\;\; ...,\;\;\pi(i_k) = p_k.$

Например, если $n=5$ то перестановка $12453$ избегает $134$ как подпоследовательность, а перестановка $\mathbf{1}2\mathbf{3}5\mathbf{4}$ - нет.

Вопрос: Пусть $k$ постоянная. Принимая во внимание множество $S\subset C(n,k)$ из $k$ -кортежей, найти перестановки $\pi:[n]\rightarrow [n]$ , что позволяет избежать каждого $k$ -кратного в $S$ .

Существует ли алгоритм для этой задачи, полиномиальный по $|P|$ а $n$ ? Здесь $n$ дано в одинарном. Алгоритм, работающий во времени $n^{f(k)}|P|^{g(k)}$ , будет в порядке.
Или эта проблема NP-полная?

Любые ссылки на эту проблему или предложения алгоритмов приветствуются. Обратите внимание, что понятие избегания перестановки, определенное выше, не совпадает с понятием избегания перестановки, где важен только относительный порядок элементов, и которое, кажется, хорошо изучено в комбинаторике.

reference-request co.combinatorics permutations

— Матеус де Оливейра Оливейра
источник

Вы хотите взять случайную перестановку и проверить, не нарушает ли она никаких ограничений в S? Рандомизированный алгоритм полиномиального времени будет лучше, чем ничего. Предполагается, что k является константой, поэтому она по определению мала. Но я не понимаю, как это будет работать эффективно, если у S много ограничений. Поскольку, согласно ответу Дэвида, проблема в NPC для k = 3, я немного скептически отношусь к тому, что рандомизированный алгоритм будет эффективным. Не могли бы вы объяснить немного вашу идею?

— Матеус де Оливейра Оливейра

Извините, я упустил из виду, что у вас есть набор запрещенных кортежей. Нет никаких гарантий, что отбор проб будет эффективным.

— DW

Он NP-завершен для уменьшением от промежуточности . В проблеме промежуточности каждому дается элементов, которые должны быть полностью упорядочены, и ограничения на некоторые тройки элементов вынуждают один элемент тройки находиться между двумя другими. В вашей задаче одно и то же ограничение можно навязать, запретив все подпоследовательности для трех элементов, которые не помещают средний элемент в середину. Но между ними, как известно, NP-полнота: см. J. Opatrny, Задача полного упорядочения, SIAM J. Comput. 8 (1979), с. 111–114. $k=3$ $n$

— Дэвид Эппштейн
источник