В какой степени вычислительные способности для сложных задач помогают в решении простых задач

Короче говоря, вопрос заключается в следующем: в какой степени вычислительные способности для сложных задач действительно помогают вам в решении простых задач. (Могут быть разные способы сделать этот вопрос интересным и нетривиальным, и вот одна из таких попыток.)

Вопрос 1:

Рассмотрим схему решения SAT для формулы с n переменными. (Или для нахождения гамильтонова цикла для графа с ребрами.) $n$

Предположим, что каждый вентиль позволяет вычислить произвольную булеву функцию от переменных. Для конкретности возьмем . $m$ $m=0.6 n$

Гипотеза сильного экспоненциального времени (SETH) утверждает, что даже при таких сильных затворах нам нужен суперполиномиальный размер цепи. На самом деле нам нужен размер не менее для каждого В некотором смысле, ворота на долю переменных, которые представляют очень сложные булевы функции (намного превосходящие NP-полноту), не дают вам большого преимущества. $\Omega (2^{(0.4-\epsilon) n})$ $\epsilon.$

Мы можем также спросить:

(i) Можем ли мы иметь такую схему размером ? ? $2^{0.9 n}$ $2^{(1-\epsilon)n}$

Ответ «нет» будет значительным укреплением SETH. Конечно, может быть, есть простой ответ «да», который я просто скучаю.

(ii) Если ответом на (i) является ДА, то гейты, которые вычисляют произвольные булевы функции, дают некоторые преимущества по сравнению с вентилями, которые «просто» вычисляют (скажем) произвольные NP-функции; или просто меньшие экземпляры самого SAT?

Следующие попытки задать вопрос что - то похожее на вопросы в . $P$

Вопрос 2:

Как и прежде, пусть а для конкретности положим . (Другие значения такие как , также представляют интерес.) Рассмотрим следующие типы цепей: $m< n$ $m=0.6n$ $m$ $m=n^\alpha$

а) За один шаг вы можете вычислить произвольную булеву функцию от переменных. $m$

б) За один шаг вы можете решить задачи SAT с переменными. Или, возможно, произвольная недетерминированная схема полиномиального размера от переменных. $m$ $m$

c) За один шаг вы можете выполнить произвольную схему для переменных размером ( фиксировано). $m$ $m^d$ $d$

г) За один шаг вы можете выполнить обычные логические элементы.

Рассмотрим вопрос о нахождении идеального соответствия для графа с ребрами. Соответствие имеет схему полиномиального размера. Вопрос в том, можно ли улучшить показатель степени в таком алгоритме согласования при переходе от цепей типа d) к цепям типа c), а также от цепей размера c) к цепям размера b) и из цепей размера b ) в цепи размера а). $n$

(Это может быть связано с известными проблемами параллельных вычислений или оракулов.)

cc.complexity-theory dc.parallel-comp

— Гил Калай
источник

На самом деле Strong ETH не так уж силен: он просто говорит, что вы не можете иметь единый алгоритм, работающий за

времени для SAT с предложениями

, для всех

. Разрешение произвольных булевых функций на небольшие наборы переменных помещает вас в область неоднородных цепей. «Неоднородный SETH» - интересный вариант, но я не думаю, что он изучен слишком близко.

O ({1.9999}^{n})

$O(1.9999^n)$

c n

$cn$

c

$c$

— Райан Уильямс

Дорогой Райан, верно, мне просто удобнее рассматривать неоднородный случай. Отсутствие ответа на вопрос 1 будет значительным усилением неоднородной СЕТ. (Я думал, что неоднородный SETH как усиление SETH, но, возможно, я ошибался.) Возможно, вы можете переформулировать Вопросы 1 и 2 для унифицированных алгоритмов. В любом случае, возможно, с такими сильными версиями SETH и неоднородным SETH будет возможно найти контрпример.

— Гил Калай

Я предполагаю, что вы хотите быть осторожным с тем, что

: в SETH он обозначает количество переменных, в приведенном выше он, кажется, обозначает длину ввода. Если вы позволяете ворота , которые можно «вычислить SAT на

переменных экземпляров» это тривиально , чтобы получить глубину 2

цепь размера для

переменной SAT: принимать или по всем возможным присвоений

переменных, используйте свои ворота SAT, чтобы решить SAT на оставшихся

переменных. Но это, вероятно, не то, что вы ищете .... Не так ли?

n

$n$

.1 n

$.1n$

2^{.9 n}

$2^{.9n}$

n

$n$

.9 n

$.9n$

.1 n

$.1n$

— Райан Уильямс

$2^{2^m \cdot s}$ $s$ $s=2^{n-m}$

— Боаз Барак
источник

Привет @ Боаз Барак. Вы не против, если я объединю ваши две учетные записи на этом сайте?

— Лев Рейзин

Спасибо Вооз. Я предполагаю, что суть вопроса такова: если вы идете намного ниже того, что необходимо для вычисления всей функции, можете ли вы все еще вычислить полную функцию NP.

— Гил Калай