MLTT эффективно pCiC без поддержки?

Является ли теория типов Мартина-Лёфа в основном предикативным исчислением индуктивных конструкций без предиктивного ? $\mathtt{Prop}$

Если они тесно связаны , но с большим количеством различий , чем просто , каковы эти различия? $\mathtt{Prop}$

type-theory calculus-of-constructions

— пользователь
источник

В моей книге MLTT - это (старая и устоявшаяся) интуиционистская теория зависимых типов, а я связываю исчисление конструкций с помощником по доказательству Coq. Но я могу ошибаться.

— Томас Климпел

MLTT использует типы идентичности, чтобы иметь дело с равенством. Каким будет равенство в предикативном фрагменте CiC?

— Мартин Бергер

@MartinBerger: CiC также имеет типы идентификации!

— Коди

Это немного похоже на вопрос, является ли Великобритания ЕС без других 27 государств-членов :-)

— Андрей Бауэр

@AndrejBauer Если бы я был достаточно остроумен, я бы придумал шутку с брекситом, но, к сожалению, нет. :-P

— пользователь

Короткий ответ - да, MLTT может быть разумно приравнен к CIC без каких-либо последствий Prop.

Основная техническая проблема заключается в том, что существуют десятки вариантов, когда кто-то говорит о теории типов Мартина-Лёфа, и, что более удивительно, когда кто-то говорит о CIC. Например, принимая версию CIC определяется в диссертации Бенджамина Вернера, он даже не имеет смысла , чтобы удалить Prop, так как один не имеет ни Setили вселенные Type.

Основные варианты, которые можно рассмотреть в любой из этих теорий:

Юниверсы : сколько и как они определены (Palmgren, « О юниверсах в теории типов» , обсуждается множество неэквивалентных вариаций), а также допускается ли универсальный полиморфизм .
Какие индуктивные типы / семейства : Agda допускает индуктивно-рекурсивные типы, но существует гораздо больше мирских вариаций в зависимости от того, насколько «велики» типы в конструкторах и элиминаторах, разрешены, обрабатываются параметры по сравнению с индексами и т. Д.
Инъективность конструкторов типов . Это приводит к системе, несовместимой с EM в Агде. Конечно, у Эпиграммы есть более экстремальная «теория типов наблюдений», но это может рассматриваться как нечто совершенно иное.
Аксиома К : это бесплатно для определенных версий сопоставления с образцом.
$\frac{Γ ⊢ t : {I d}_{T y p e} A B}{Γ ⊢ A = B}$ $\frac{\Gamma\vdash t:\mathrm{Id}_{\mathrm{Type}}\ A\ B }{\Gamma\vdash A\ =\ B}$
Наличие коиндуктивных типов и связанных с ними принципов исключения.

Все вышеперечисленные варианты (кроме OTT) были рассмотрены в литературе и связаны с именем «Теория типов Мартина-Лёфа» или «Исчисление индуктивных конструкций», в основном из-за их связи с системами Agda и Coq соответственно.

Поэтому длинный ответ заключается в том, что нет единого мнения о том, каково точное определение любой из этих систем.

— Коди
источник