SAT 1-в-3 остается NP-жестким, даже если каждая переменная встречается как положительно, так и отрицательно?

Стандартная проблема 1-в-3 SAT (или XSAT или X3SAT):
Экземпляр : формула CNF с каждым предложением, содержащим ровно 3 литерала.
Вопрос : есть ли удовлетворительная установка присваивания, точно равная 1 литералу на предложение, верно?

Проблема является NP-полной и остается сложной, даже если никакая переменная не встречается отрицательной. Интересно, становится ли эта проблема легкой или остается сложной, если требуется, чтобы каждая переменная возникала хотя бы один раз положительно и хотя бы раз отрицательно ?

Обычное сокращение от 3SAT, показывающее, что 1-в-3 SAT трудно заменить пункт $(x\lor y \lor z)$ по пунктам $(\lnot x \lor a \lor b)$ , $(y\lor b\lor c)$ , $(\lnot z \lor c \lor d)$ где $a,b,c,d$ свежи для каждого пункта. Таким образом, это сокращение не помогает в ответе на мой вопрос. У меня были проблемы с созданием гаджета, показывающего сложность этого варианта, поскольку, если ровно 1 литерал в предложении истинен, то несимметрично 2 литерала ложны. Если это окажется легким, то можно подумать о терминах набора предложений, но я не понимаю, как это сделать.

cc.complexity-theory np-hardness sat

— Доминик Петерс
источник

Можно ли его уменьшить до 2 сат?

— Джошуа Герман

подсказка: для каждого вар

X_{i}

$X_i$ , добавить пункты

(X_{i} \lor {\bar{X}}_{i} \lor W) \land (X_{i} \lor {\bar{X}}_{i} \lor Y) \land (X_{i} \lor {\bar{X}}_{i} \lor Z)

$(X_i\vee \overline X_i \vee W) \wedge (X_i\vee \overline X_i \vee Y)\wedge (X_i\vee \overline X_i \vee Z)$ и скажи,

(W \lor Y \lor \bar{Z})

$(W \vee Y \vee \overline Z)$ ,

— Нил Янг,

Ха, это работает (конечно, добавляя также

(\bar{W} \lor Y \lor Z) \land (W \lor \bar{Y} \lor Z)

$(\overline W \lor Y\lor Z)\land(W\lor\overline Y \lor Z)$ ). Я оставлю вопрос открытым на тот случай, если кто-нибудь сможет решить его без малейшего удовлетворения.

X_{i} \lor {\bar{X}}_{i}

$X_i\lor\overline X_i$ обмануть.

— Доминик Питерс

Могу ли я призвать вас написать полный ответ на свой вопрос, возможно, основываясь на идее Нила Янга? (Между прочим, я не уверен, почему это "неудовлетворительно". Сокращение - это сокращение.)

— DW

Если это тот особый случай, который вас действительно волнует, то, возможно, имеет смысл отредактировать ваш вопрос, чтобы отразить это дополнительное ограничение?

— DW

В комментарии OP выразил заинтересованность в сокращении, которое породило экземпляры с 3 различными переменными в предложении. Вот простой подход:

Сокращение от SAT 1-в-3 с 3 различными переменными в предложении:

Прежде всего, включите все предложения в формулу ввода как предложения в формулу вывода.
Во-вторых, введите три новые переменные $F_1$ , $F_2$ , а также $F_3$ и добавьте следующие три предложения в формулу вывода: $(\neg F_1, F_2, F_3)$ , $(F_1, \neg F_2, F_3)$ , а также $(F_1, F_2, \neg F_3)$ ,
Наконец, для каждой переменной $x$ в исходной формуле введите новую переменную $x'$ и добавьте следующие два предложения в формулу вывода: $(x, x', F_1)$ а также $(\neg x, \neg x', F_1)$ ,

Давайте проверим, что это сокращение делает то, что мы хотим. Следующие свойства - это то, что мы хотим:

Каждое предложение всегда имеет три различных переменных.
Каждая переменная встречается в некотором предложении положительно, а в другом - отрицательно.
Формула ввода эквивалентна формуле вывода.

Свойство 1 тривиально проверить. Свойство 2 также легко проверить: переменные $F_1$ , $F_2$ , а также $F_3$ каждая из них встречается как положительно, так и отрицательно в предложениях, добавленных во втором пункте маркированного списка, в то время как каждая другая переменная в формуле встречается как положительно, так и отрицательно в предложениях, добавленных в третьем пункте маркированного списка.

Что касается свойства 3, это менее тривиально, но все же легко. Вы можете легко утверждать, что единственное назначение для переменных $F_1$ , $F_2$ , а также $F_3$ что удовлетворяет каждому пункту из второго пункта пули, состоит в том, чтобы сделать все три $F_i$ s false. But then assuming a value of false for $F_1$ , пункты $(x, x', F_1)$ а также $(\neg x, \neg x', F_1)$ добавленные в третьем пункте пули выполняются тогда и только тогда, когда $x' = \neg x$ , Поскольку нет никаких других ограничений на $x'$ , это означает, что всегда можно расширить удовлетворяющее назначение для входной формулы в удовлетворяющее назначение для выходной формулы: просто установите каждый $x'$ быть отрицанием соответствующего $x$ и установить каждый $F_i$ ложно.

— Михаил Рудой
источник