Два варианта НП

Вот два варианта определения NP. Они (почти наверняка) определяют разные классы сложности, но мой вопрос: есть ли естественные примеры проблем, которые вписываются в эти классы?

(Мой порог для того, что считается естественным, здесь немного ниже, чем обычно.)

Класс 1 (суперкласс NP): проблемы со свидетелями полиномиального размера, для проверки которых требуется суперполиномиальное, но субэкспоненциальное время. Для конкретности, скажем, время . Это эквивалентно классу языков, распознаваемых недетерминированными машинами, которые занимают время но могут только сделать поли (n) недетерминированные догадки. $n^{O(\log n)}$ $n^{O(\log n)}$

Существуют ли естественные проблемы в классе 1, о которых неизвестно / считается ни в ни в ? $NP$ $DTIME(n^{O(\log n)})$

Класс 1 - это класс языков, как обычно. Класс 2, с другой стороны, является классом проблем отношений:

Класс 2: двоичное отношение R = {(x, y)} находится в этом классе, если

Существует многочлен p такой, что (x, y) из R влечет | y | не более p (| x |).
Существует алгоритм поли (| x |) -времени A, такой что для всех входов x, если существует такой y, что (x, y) находится в R, то (x, A (x)) находится в R, и если такого y нет, то A (x) отклоняет.
Для любого поли (| x |) -временного алгоритма B существует бесконечно много пар (x, w) таких, что B (x, w) отличается от R (x, w) (здесь я использую R для обозначения своей собственной характеристики функция).

Другими словами, для всех случаев легко найти какого-либо свидетеля, если он есть. И все же не все свидетели легко проверяемы.

(Обратите внимание, что если R в классе 2, то проекция R на его первый фактор просто в P. Это то, что я имел в виду, говоря, что класс 2 - это класс реляционных задач.)

Есть ли естественные проблемы в отношениях в классе 2?

— Джошуа Грохов
источник

Я не уверен в этом вопросе. Вам нужны проблемы, которые явно есть в одном классе, а не в другом?

— Лев Рейзин

Нет. Для каждого класса мне отдельно интересно, существуют ли естественные проблемы, которые вписываются в класс, но неизвестно, вписываются ли они в другие стандартные классы сложности. Например, я хотел бы знать, существует ли естественная проблема в классе 1, которая, как известно, не существует в NP.

— Джошуа Грохов

Я думаю, что вы хотите переписать условие 2 для класса 2, так как в противном случае A может быть тривиальным алгоритмом, который всегда отклоняет. Ваше словесное описание ниже кажется более разумным.

— Энди Друкер

Для класса 2 один несколько глупый пример - это R (p, a) = {p - целочисленный полином, a находится в диапазоне p, а | a | = O (poly (| p |)}. R находится в классе 2, но неразрешима.

— Энди Друкер

Энди - почему бы не опубликовать это как ответ вместо комментария?

— Джошуа Грохов

Для класса 2 один несколько глупый пример

R (p, a) = {p - целочисленный полином, a находится в диапазоне p, а | a | = O (poly (| p |)}.

R в классе 2, но неразрешимый.

— Энди Друкер
источник

{x : | p (x) | \leq r (| p |)}

$\{x : |p(x)| \leq r(|p|)\}$

p

$p$

a = 0

$a = 0$

R (p, a)

$R(p, a)$

p = 0

$p = 0$

О да. Вот так я себя и убедил и раньше :). Спасибо.

— Джошуа Грохоу

Я бы попросил вас немного разъяснить условие для свидетелей в классе 1. Кажется, что любая правильно ограниченная проблема со-NP, похоже, сработает, это то, что вы намеревались?

$\log n$

— Магнус Вальстрём
источник

n^{O (\log n)}

$n^{O(\log n)}$

N P

$NP$

N P

$NP$

D T I M E (n^{O (\log n)})

$DTIME(n^{O(\log n)})$ (Я обновлю вопрос соответственно). Интересно, может ли версия какой-либо другой параметризованной задачи справиться с задачей, но я не слишком знаком с параметризованной сложностью.

— Джошуа Грохов

$f$

$f(x_1,x_2,\ldots, x_n,y_1,y_2,\ldots,y_m)$

$\exists x \forall y f(x_1,x_2,\ldots, x_n,y_1,y_2,\ldots,y_m)$

Это, вероятно, не в QP, потому что он может выразить все проблемы в NP, и, вероятно, не в NP, потому что он может выразить все проблемы в co-NTIME (polylog).

— Робин Котари
источник

f

$f$

n + m

$n+m$

x_{i}

$x_i$

y_{j}

$y_j$

Да, я думаю, это сработает.

— Робин Котари